高等数学严选题目-约280道

HS教育·数学教研组

第一章函数、极限、连续（基础题）

函数 $y=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}$ 的定义域为

答案：$(-3, 3)$
解析：由 $9-x^2 > 0$ 得 $x^2 < 9$，即 $-3 < x < 3$。
函数 $y=\arcsin(x-3)+\ln(x-2)$ 的定义域为

答案：$(2, 4]$
解析：需满足 $\begin{cases} -1 \leq x-3 \leq 1 \\ x-2 > 0 \end{cases}$，即 $\begin{cases} 2 \leq x \leq 4 \\ x > 2 \end{cases}$，取交集得 $2 < x \leq 4$。
设 $f(x)$ 的定义域为 $[-1, 2)$，则 $f(x-1)$ 的定义域为

答案：$[0, 3)$
解析：由 $-1 \leq x-1 < 2$ 得 $0 \leq x < 3$。
设 $f(1-3x)$ 的定义域为 $[-1, 3]$，则 $f(x-3)$ 的定义域为

答案：$[-5, 1]$
解析：由 $x \in [-1, 3]$ 得 $1-3x \in [-8, 4]$，即 $f(u)$ 定义域为 $[-8, 4]$。

由 $-8 \leq x-3 \leq 4$ 得 $-5 \leq x \leq 1$。
已知 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$，则 $f(x)=$

答案：$x^2-2$（$|x| \geq 2$）
解析：$x^2+\frac{1}{x^2} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 - 2$，令 $t=x+\frac{1}{x}$，则 $f(t)=t^2-2$。

当 $x>0$ 时，$t \geq 2$；当 $x<0$ 时，$t \leq -2$。故 $|x| \geq 2$。
设 $f(\cos x)=1-2\sin^2 x$，则 $f(x)=$

答案：$2x^2-1$（或 $f(x)=2x^2-1$，$|x| \leq 1$）
解析：$1-2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$，故 $f(\cos x) = 2\cos^2 x - 1$。

令 $t=\cos x \in [-1,1]$，则 $f(t)=2t^2-1$。
函数 $y=3x+2$ 的反函数为

答案：$y=\frac{x-2}{3}$
解析：由 $y=3x+2$ 解得 $x=\frac{y-2}{3}$，互换 $x,y$ 得反函数。
函数 $y=3\sin 4x$ 的反函数为

答案：$y=\frac{1}{4}\arcsin\frac{x}{3}$（$x \in [-3,3]$）
解析：由 $y=3\sin 4x$ 得 $\sin 4x = \frac{y}{3}$，则 $4x = \arcsin\frac{y}{3}$。

故 $x = \frac{1}{4}\arcsin\frac{y}{3}$，互换得反函数，定义域 $x \in [-3,3]$。
设 $f(x)=1+x^2$，$g(x)=\sin x$，则 $f[g(x)]=$

答案：$1+\sin^2 x$
解析：$f[g(x)] = f(\sin x) = 1+\sin^2 x$。
分解函数 $y=\sin^2(2x+1)$ 的复合过程

答案：$y=u^2$，$u=\sin v$，$v=2x+1$
解析：由外层向内层分解：幂函数 $\to$ 正弦函数 $\to$ 一次函数。
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi^x}{\pi^x-e^x}=$

答案：$1$
解析：分子分母同除以 $\pi^x$：$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1-\left(\frac{e}{\pi}\right)^x}$。

由于 $\frac{e}{\pi} < 1$，故 $\left(\frac{e}{\pi}\right)^x \to 0$，极限为 $\frac{1}{1-0}=1$。
$\lim_{x\to 0}\frac{2\tan 3x}{3\sin 2x}=$

答案：$1$
解析：利用等价无穷小：$\tan 3x \sim 3x$，$\sin 2x \sim 2x$（$x\to 0$）。

原式 $=\lim_{x\to 0}\frac{2\cdot 3x}{3\cdot 2x} = \frac{6x}{6x} = 1$。
$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x\sin x}=$

答案：$2$
解析：利用 $1-\cos 2x = 2\sin^2 x \sim 2x^2$，$\sin x \sim x$。

原式 $=\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{x\cdot x} = 2$。
$\lim_{n\to\infty}\tan\frac{3n}{2}=$

答案：不存在
解析：当 $n\to\infty$ 时，$\frac{3n}{2} \to \infty$，$\tan\frac{3n}{2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 振荡，极限不存在。
$\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-3x^2}}{2x^2}=$

答案：$\frac{3}{4}$
解析：有理化分子：$\frac{1-\sqrt{1-3x^2}}{2x^2} \cdot \frac{1+\sqrt{1-3x^2}}{1+\sqrt{1-3x^2}} = \frac{3x^2}{2x^2(1+\sqrt{1-3x^2})}$。

$=\lim_{x\to 0}\frac{3}{2(1+\sqrt{1-3x^2})} = \frac{3}{2(1+1)} = \frac{3}{4}$。
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{\ln(1-x)x^2}=$

答案：$\frac{1}{6}$
解析：泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。

分子：$\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$。

分母：$\ln(1-x)\cdot x^2 \sim (-x)\cdot x^2 = -x^3$。

原式 $=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{x^3}{6}}{-x^3} = \frac{1}{6}$。
$\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^4-1}=$

答案：$\frac{3}{4}$
解析：$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$。

原式 $=\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{3}{2\cdot 2} = \frac{3}{4}$。
$\lim_{x\to 0}\left(x^{-2}-\frac{\sin x}{x^3}\right)=$

答案：$\frac{1}{6}$
解析：通分：$\frac{x-\sin x}{x^3}$。

泰勒展开：$x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}$，故极限为 $\frac{1}{6}$。
若极限 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)$ 存在，则 $a=$ ，$b=$

答案：$a=1, b=-1或任意常数$
解析：$\frac{x^2+1}{x+1} = x-1+\frac{2}{x+1}$。

原式 $=\lim_{x\to\infty}\left(x-1+\frac{2}{x+1}-ax-b\right) = \lim_{x\to\infty}\left((1-a)x-(1+b)+\frac{2}{x+1}\right)$。

极限存在要求 $1-a=0$ 且 $-(1+b)$ 为常数，故 $a=1, b=-1$。
当 $x\to 0$ 时，$\sqrt{1-ax^2}-1$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，则 $a=$

答案：$-2$
解析：$\sqrt{1-ax^2}-1 \sim -\frac{ax^2}{2}$（$x\to 0$）。

由等价无穷小定义：$-\frac{a}{2}=1$，故 $a=-2$。
当 $x\to 0$ 时，$x^n$ 与 $\sin x - x$ 是同阶无穷小，则 $n=$

答案：$3$
解析：$\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$，故为 $3$ 阶无穷小，$n=3$。
设 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{2x}=3$，则 $k=$

答案：$6$
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{kx}{2x} = \frac{k}{2} = 3$，故 $k=6$。
设 $f(x)=\frac{|x|}{x}$，则 $\lim_{x\to 0}f(x)$ （存在还是不存在）

答案：不存在
解析：$\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1$，$\lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1$。

左右极限不相等，故极限不存在。
极限 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{1}{x}}+2}{e^{\frac{1}{x}}-2}$ （存在还是不存在）

答案：不存在
解析：当 $x\to 0^+$ 时，$\frac{1}{x}\to+\infty$，$e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$，极限为 $\lim_{t\to+\infty}\frac{t+2}{t-2}=1$。

当 $x\to 0^-$ 时，$\frac{1}{x}\to-\infty$，$e^{\frac{1}{x}}\to 0$，极限为 $\frac{0+2}{0-2}=-1$。

左右极限不相等，故极限不存在。
函数 $y=x\cos\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处（连续还是间断）

答案：可去间断点（补充定义后连续）
解析：$\lim_{x\to 0}x\cos\frac{1}{x}=0$（有界函数乘无穷小）。

若定义 $f(0)=0$，则函数在 $x=0$ 处连续。严格说原函数在 $x=0$ 无定义，为可去间断点。
$x=0$ 是 $y=\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$ 的间断点

答案：无穷间断点（或第二类）
解析：当 $x\to 0^+$ 时，$\frac{x}{1-x}\to 0^+$，$e^{\frac{x}{1-x}}\to 1^+$，$y\to -\infty$。

当 $x\to 0^-$ 时，$\frac{x}{1-x}\to 0^-$，$e^{\frac{x}{1-x}}\to 1^-$，$y\to +\infty$。

左右极限都为无穷但符号相反，为无穷间断点（或第二类）。
已知 $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的间断点

答案：可去（或第一类）
解析：$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$（$x\neq 2$）。

$\lim_{x\to 2}f(x)=4$ 存在但不等于 $f(2)$（$f(2)$ 无定义），故为可去间断点。
$x=0$ 是 $y=\frac{\tan x}{x}$ 的间断点

答案：可去（或第一类）
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$ 存在，但函数在 $x=0$ 无定义，故为可去间断点。

第二章导数与微分（基础题）

设 $f'(x_0)=\frac{1}{2}$，则 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=$

答案：$-1$
解析：原式 $=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0)}{-2\Delta x}\cdot(-2) = f'(x_0)\cdot(-2) = \frac{1}{2}\cdot(-2) = -1$。
设 $f'(x_0)=A$，则 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+2\Delta x)-f(x_0-3\Delta x)}{\Delta x}=$

答案：$5A$
解析：原式 $=\lim_{\Delta x\to 0}\left[\frac{f(x_0+2\Delta x)-f(x_0)}{2\Delta x}\cdot 2 - \frac{f(x_0-3\Delta x)-f(x_0)}{-3\Delta x}\cdot(-3)\right]$。

$=2f'(x_0) + 3f'(x_0) = 5A$。
设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，且 $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=2$，则 $f(1)=$ ，$f'(1)=$

答案：$f(1)=0, f'(1)=2$
解析：由连续性，$f(1)=\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}\cdot(x-1)=2\cdot 0=0$。

$f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=2$。
设 $f'(x_0)=2$，则 $\lim_{n\to\infty}n\left[f\left(x_0+\frac{1}{n}\right)-f(x_0)\right]=$

答案：$2$
解析：令 $h=\frac{1}{n}$，当 $n\to\infty$ 时 $h\to 0$。

原式 $=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) = 2$。
设 $f(0)=0, f'(0)=-1$，则 $\lim_{x\to 0}\frac{f(3x)}{x}=$

答案：$-3$
解析：原式 $=\lim_{x\to 0}\frac{f(3x)-f(0)}{3x}\cdot 3 = 3f'(0) = 3\cdot(-1) = -3$。
若 $f(x)=\begin{cases} x^2, & x\leq 1 \\ ax+b, & x>1 \end{cases}$ 在 $x=1$ 处可导，则 $a=$ ，$b=$

答案：$a=2, b=-1$
解析：连续性：$\lim_{x\to 1^-}f(x)=1$，$\lim_{x\to 1^+}f(x)=a+b$，故 $a+b=1$。

左导数：$f'_-(1)=\lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1}=2$。

右导数：$f'_+(1)=\lim_{x\to 1^+}\frac{ax+b-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{ax-a}{x-1}=a$。

可导要求 $f'_-(1)=f'_+(1)$，即 $a=2$，代入 $a+b=1$ 得 $b=-1$。
设 $f(x)=|\sin 2x|$，求 $f'(0)$

答案：不存在
解析：在 $x=0$ 附近，当 $x>0$ 且充分小时，$\sin 2x>0$，$f(x)=\sin 2x$。

当 $x<0$ 且充分小时，$\sin 2x<0$，$f(x)=-\sin 2x$。

右导数：$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin 2x}{x}=2$。

左导数：$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{-\sin 2x}{x}=-2$。

左右导数不相等，故 $f'(0)$ 不存在。
设 $y=x\arcsin x$，求 $y'$

答案：$\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
解析：$y' = \arcsin x + x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。
$(2x^2\cdot 5^x)'=$

答案：$4x\cdot 5^x + 2x^2\cdot 5^x\ln 5$
解析：$(2x^2\cdot 5^x)' = 4x\cdot 5^x + 2x^2\cdot 5^x\ln 5$。
设 $y=\ln(\ln x)$，则 $\frac{dy}{dx}=$

答案：$\frac{1}{x\ln x}$
解析：$y' = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}$。
设 $y=\arctan(e^{2x})$，则 $y'\big|_{x=0}=$

答案：$1$
解析：$y' = \frac{1}{1+e^{4x}}\cdot 2e^{2x} = \frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}$。

当 $x=0$ 时，$y'\big|_{x=0} = \frac{2}{1+1} = 1$。
已知 $y=x^2f(x)$ 且 $f(u)$ 可导，则 $y'=$

答案：$2xf(x) + x^2f'(x)$
解析：乘积法则：$y' = 2xf(x) + x^2f'(x)$。
设 $y=x^2\sin\frac{1}{x}$，则 $y'=$

答案：$2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$
解析：$y' = 2x\sin\frac{1}{x} + x^2\cos\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$。
设 $y=x^2\sin\frac{1}{x}$，则 $dy=$

答案：$\left(2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}\right)dx$
解析：$dy = y'dx = \left(2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}\right)dx$。
设函数 $y=f(2x^3)$ 且 $f(u)$ 二阶可导，则 $\frac{d^2y}{dx^2}=$

答案：$36x^4f''(2x^3) + 12xf'(2x^3)$
解析：一阶导：$\frac{dy}{dx} = f'(2x^3)\cdot 6x^2 = 6x^2f'(2x^3)$。

二阶导：$\frac{d^2y}{dx^2} = 12xf'(2x^3) + 6x^2f''(2x^3)\cdot 6x^2 = 12xf'(2x^3) + 36x^4f''(2x^3)$。
设 $y=y(x)$ 由 $y=xe^y$ 确定，则 $\frac{dy}{dx}=$

答案：$\frac{e^y}{1-xe^y}$（或 $\frac{y}{x(1-y)}$）
解析：两边对 $x$ 求导：$y' = e^y + xe^y\cdot y'$。

$y'(1-xe^y) = e^y$，故 $y' = \frac{e^y}{1-xe^y}$。

由 $y=xe^y$ 得 $xe^y=y$，代入得 $y' = \frac{e^y}{1-y} = \frac{y/x}{1-y} = \frac{y}{x(1-y)}$。
设 $y=y(x)$ 由 $y^3+x^3-xy=0$ 确定，则 $dy=$

答案：$\frac{y-3x^2}{3y^2-x}dx$
解析：两边微分：$3y^2dy + 3x^2dx - ydx - xdy = 0$。

$(3y^2-x)dy = (y-3x^2)dx$，故 $dy = \frac{y-3x^2}{3y^2-x}dx$。
设 $F(x)=\int_{x^2}^{\sin x}\ln(1+t)dt$，则 $F'(x)=$

答案：$\cos x\cdot\ln(1+\sin x) - 2x\ln(1+x^2)$
解析：变限积分求导：$F'(x) = \ln(1+\sin x)\cdot\cos x - \ln(1+x^2)\cdot 2x$。
设 $F(x)=\int_0^x x^2f(t)dt$，则 $F'(x)=$

答案：$2x\int_0^x f(t)dt + x^2f(x)$
解析：$F(x) = x^2\int_0^x f(t)dt$，乘积法则：

$F'(x) = 2x\int_0^x f(t)dt + x^2f(x)$。
设 $y=x^x$，则 $dy=$

答案：$x^x(1+\ln x)dx$
解析：取对数：$\ln y = x\ln x$，两边求导：$\frac{y'}{y} = 1 + \ln x$。

$y' = x^x(1+\ln x)$，故 $dy = x^x(1+\ln x)dx$。
设 $y=xe^x$，则 $y^{(n)}=$

答案：$(x+n)e^x$
解析：$y' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$。

$y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$。

归纳得 $y^{(n)} = (x+n)e^x$。
设 $y=e^{5x}$，则 $y^{(n)}=$

答案：$5^n e^{5x}$
解析：每求导一次多一个因子 $5$，故 $y^{(n)} = 5^n e^{5x}$。
设 $f(x)$ 可导且 $\lim_{x\to 0}\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $[1,f(1)]$ 处切线的斜率为

答案：$-2$
解析：原式 $=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{f(1-x)-f(1)}{-x} = \frac{1}{2}f'(1) = -1$。

故 $f'(1) = -2$，切线斜率为 $-2$。
函数 $y=x+e^x$ 在 $x=0$ 处的切线方程为

答案：$y=2x+1$（或 $2x-y+1=0$）
解析：$y(0)=1$，$y'=1+e^x$，$y'(0)=2$。

切线方程：$y-1=2(x-0)$，即 $y=2x+1$。
曲线 $y=x^3+x+1$ 在其拐点处的切线方程为

答案：$y=x+1$
解析：$y''=6x$，令 $y''=0$ 得 $x=0$。

当 $x<0$ 时 $y''<0$，当 $x>0$ 时 $y''>0$，故 $(0,1)$ 是拐点。

$y'(0)=1$，切线方程：$y-1=1\cdot(x-0)$，即 $y=x+1$。
函数 $y=ax^2-2bx-1$ 在 $x=1$ 处取得极大值 $3$，则 $a=$ ，$b=$

答案：$a=-4, b=-4$
解析：$y'=2ax-2b$，由 $y'(1)=0$ 得 $2a-2b=0$，即 $a=b$。

由 $y(1)=3$ 得 $a-2b-1=3$，即 $a-2b=4$。

联立得 $a=b=-4$？

修正：由 $a-2b=4$ 和 $a=b$ 得 $-b=4$，$b=-4$，$a=-4$。

验证：$y=-4x^2+8x-1$，$y(1)=-4+8-1=3$，正确。
$f(x)=\arctan x$ 在 $[0,1]$ 上满足拉格朗日中值定理的中值 $\xi=$

答案：$\sqrt{\frac{4-\pi}{\pi}}$（或 $\sqrt{\frac{4}{\pi}-1}$）
解析：$f(1)-f(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$。

$f'(\xi) = \frac{1}{1+\xi^2} = \frac{\pi/4}{1-0} = \frac{\pi}{4}$。

$1+\xi^2 = \frac{4}{\pi}$，$\xi^2 = \frac{4}{\pi}-1 = \frac{4-\pi}{\pi}$。

$\xi = \sqrt{\frac{4-\pi}{\pi}} \in (0,1)$。
函数 $y=\frac{1}{x}$ 的垂直渐近线为

答案：$x=0$（或 $y$ 轴）
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty$，故垂直渐近线为 $x=0$。
函数 $y=\frac{x^2}{x+1}$ 的水平渐近线为

答案：不存在（或斜渐近线 $y=x-1$）
解析：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x+1}=\infty$，无水平渐近线。

斜渐近线：$y = x-1$（因为 $\frac{x^2}{x+1} = x-1+\frac{1}{x+1}$）。
函数 $y=\frac{x}{x^2+1}$ 的水平渐近线为

答案：$y=0$（或 $x$ 轴）
解析：$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=0$，故水平渐近线为 $y=0$。

第三章不定积分（基础题）

设 $f(x)=\sin x$，则 $\int f'(x)dx=$

答案：$\sin x + C$
解析：$\int f'(x)dx = f(x) + C = \sin x + C$。
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\sin x$，则 $\int f'(x)dx=$

答案：$\cos x + C$
解析：由原函数定义，$f(x)=(\sin x)'=\cos x$。

$\int f'(x)dx = f(x) + C = \cos x + C$。
计算 $\int\frac{1}{1+\sqrt{2x}}dx$

答案：$\sqrt{2x} - \ln(1+\sqrt{2x}) + C$
解析：令 $t=\sqrt{2x}$，则 $x=\frac{t^2}{2}$，$dx=tdt$。

原式 $=\int\frac{t}{1+t}dt = \int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt = t - \ln|1+t| + C$。

回代得 $\sqrt{2x} - \ln(1+\sqrt{2x}) + C$。
计算 $\int x\sec^2 x dx$

答案：$x\tan x + \ln|\cos x| + C$
解析：分部积分：$\int x d(\tan x) = x\tan x - \int\tan x dx$。

$= x\tan x + \ln|\cos x| + C$。
计算 $\int\frac{1}{e^x+1}dx$

答案：$x - \ln(e^x+1) + C$（或 $\ln\frac{e^x}{e^x+1} + C$）
解析：分子分母同乘 $e^{-x}$：$\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx = -\ln(1+e^{-x}) + C$。

或：$\int\frac{(e^x+1)-e^x}{e^x+1}dx = \int\left(1-\frac{e^x}{e^x+1}\right)dx = x - \ln(e^x+1) + C$。
计算 $\int\sqrt{x}(2\sqrt{x}-1)dx$

答案：$x^2 - \frac{2}{3}x^{3/2} + C$
解析：展开：$\int(2x - x^{1/2})dx = x^2 - \frac{2}{3}x^{3/2} + C$。
计算 $\int\frac{x^2+2x}{x^3+x^2+1}dx$

答案：$\frac{1}{3}\ln|x^3+x^2+1| + C$
解析：注意到 $(x^3+x^2+1)' = 3x^2+2x$。

原式 $=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1}dx = \frac{1}{3}\ln|x^3+x^2+1| + C$。

第四章定积分与反常积分（基础题）

比较积分的大小：$\int_1^2 \ln x \, dx$ $\underline{\hspace{3em}}$ $\int_1^2 (\ln x)^2 dx$。

答案：$>$（大于）
在区间 $[1,2]$ 上，$0 \leq \ln x < 1$，所以 $\ln x > (\ln x)^2$，故前者大于后者。
设 $\int_{-1}^1 2f(x)dx = 6$，$\int_{-1}^3 f(x)dx = 5$，则 $\int_1^3 f(x)dx = \underline{\hspace{6em}}$。

答案：$2$
由第一个条件得 $\int_{-1}^1 f(x)dx = 3$

利用区间可加性：$\int_{-1}^3 f(x)dx = \int_{-1}^1 f(x)dx + \int_1^3 f(x)dx$

$5 = 3 + \int_1^3 f(x)dx$，所以 $\int_1^3 f(x)dx = 2$
$\int_{-2}^2 (3+x)\sqrt{4-x^2} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$6\pi$
分项：$\int_{-2}^2 3\sqrt{4-x^2}dx + \int_{-2}^2 x\sqrt{4-x^2}dx$

第二项为奇函数，积分为0；第一项 $3 \times$ 半圆面积 $= 3 \times 2\pi = 6\pi$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3 x + \cos^4 x) dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{3\pi}{8}$
$\sin^3 x$ 是奇函数，积分为0；$\cos^4 x$ 是偶函数

原式 $= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x \, dx = 2 \times \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}$
比较积分的大小：$\int_1^2 \ln x \, dx$ $\underline{\hspace{3em}}$ $\int_1^2 (\ln x)^2 dx$。

答案：$>$（大于）
在区间 $[1,2]$ 上，$0 \leq \ln x < 1$，所以 $\ln x > (\ln x)^2$，故前者大于后者。
设 $\int_{-1}^1 2f(x)dx = 6$，$\int_{-1}^3 f(x)dx = 5$，则 $\int_1^3 f(x)dx = \underline{\hspace{6em}}$。

答案：$2$
由第一个条件得 $\int_{-1}^1 f(x)dx = 3$

利用区间可加性：$\int_{-1}^3 f(x)dx = \int_{-1}^1 f(x)dx + \int_1^3 f(x)dx$

$5 = 3 + \int_1^3 f(x)dx$，所以 $\int_1^3 f(x)dx = 2$
$\int_{-2}^2 (3+x)\sqrt{4-x^2} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$6\pi$
分项：$\int_{-2}^2 3\sqrt{4-x^2}dx + \int_{-2}^2 x\sqrt{4-x^2}dx$

第二项为奇函数，积分为0；第一项 $3 \times$ 半圆面积 $= 3 \times 2\pi = 6\pi$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3 x + \cos^4 x) dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{3\pi}{8}$
$\sin^3 x$ 是奇函数，积分为0；$\cos^4 x$ 是偶函数

原式 $= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x \, dx = 2 \times \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}$
$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$1 - \frac{\pi}{4}$
令 $x=\sin t$，得 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\csc^2 t - 1)dt = [-\cot t - t]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = 1 - \frac{\pi}{4}$
$\int_0^1 t e^{-t^2} dt = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{2}(1 - e^{-1})$
换元 $u=-t^2$，得 $\frac{1}{2}[-e^{-t^2}]_0^1 = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$
$\int_1^{e^3} \frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$2$
换元 $u=1+\ln x$，得 $[2\sqrt{u}]_1^4 = 2(2-1) = 2$
$\int_0^1 \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\ln 3$
分子是分母的导数，所以原式 $= [\ln(x^3+x^2+1)]_0^1 = \ln 3$
$\int_0^2 \frac{1}{x^2-2x+2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi}{2}$
配方 $(x-1)^2+1$，得 $[\arctan(x-1)]_0^2 = \frac{\pi}{4}-(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$
$\int_0^1 \frac{(\arctan x)^2}{1+x^2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi^3}{192}$
换元 $u=\arctan x$，得 $[\frac{u^3}{3}]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi^3}{192}$
$\int_0^1 x e^{-x} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$1 - \frac{2}{e}$
分部积分，得 $[-(x+1)e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac{2}{e}$
$\int_1^9 \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$2\ln 3$ 或 $6\ln 3 - 4$（根据实际计算）
换元 $t=\sqrt{x}$，经过分部积分计算得结果
$\int_0^1 x \arctan x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$
由116题结果，代入上下限计算得 $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^4} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{3}$
反常积分，$\lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{3x^3}]_1^b = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+2x+2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi}{4}$
配方 $(x+1)^2+1$，得 $[\arctan(x+1)]_0^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$
由曲线 $y = x^2$ 和直线 $x - y + 2 = 0$ 所围成平面图形的面积为 $\underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{9}{2}$
交点 $x=-1, 2$，面积 $S = \int_{-1}^2 [(x+2)-x^2]dx = [\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}]_{-1}^2 = \frac{9}{2}$
设平面图形由 $y = x^2$ 和 $x = y^2$ 围成，则旋转体体积 $V_y = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{3\pi}{10}$
washer法：$V_y = \pi\int_0^1 [(\sqrt{y})^2-(y^2)^2]dy = \pi\int_0^1(y-y^4)dy = \pi[\frac{y^2}{2}-\frac{y^5}{5}]_0^1 = \frac{3\pi}{10}$

第五章微分方程（基础题）

微分方程 $x^2+x-y'=0$ 的通解为

答案：$y=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C$
解析：$y'=x^2+x$，积分得 $y=\int(x^2+x)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C$。
微分方程 $y''+y'-2y=0$ 的通解为

答案：$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$
解析：特征方程：$r^2+r-2=0$，即 $(r+2)(r-1)=0$。

根为 $r_1=1, r_2=-2$，故通解为 $y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$。
微分方程 $y''+6y'+13y=0$ 的通解为

答案：$y=e^{-3x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$
解析：特征方程：$r^2+6r+13=0$，$r=\frac{-6\pm\sqrt{36-52}}{2}=-3\pm 2i$。

通解为 $y=e^{-3x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$。
微分方程 $y''-2y'+y=0$ 的通解为

答案：$y=(C_1+C_2x)e^x$
解析：特征方程：$r^2-2r+1=0$，即 $(r-1)^2=0$。

重根 $r=1$，故通解为 $y=(C_1+C_2x)e^x$。
微分方程 $y''-4y'=0$ 的通解为

答案：$y=C_1+C_2e^{4x}$
解析：特征方程：$r^2-4r=0$，即 $r(r-4)=0$。

根为 $r_1=0, r_2=4$，故通解为 $y=C_1+C_2e^{4x}$。
$y''-3y'+2y=e^x$ 的特解可设为

答案：$y^*=Axe^x$
解析：特征方程 $r^2-3r+2=0$，根为 $r_1=1, r_2=2$。

$\lambda=1$ 是单特征根，故特解形式为 $y^*=Axe^x$。
$y''-y=(4x+1)e^x$ 的特解可设为

答案：$y^*=x(Ax+B)e^x$
解析：特征方程 $r^2-1=0$，根为 $r=\pm 1$。

$\lambda=1$ 是单特征根，故特解形式为 $y^*=x(Ax+B)e^x$。
$y''-y=2e^{-x}$ 的特解可设为

答案：$y^*=Axe^{-x}$
解析：特征方程 $r^2-1=0$，根为 $r=\pm 1$。

$\lambda=-1$ 是单特征根，故特解形式为 $y^*=Axe^{-x}$。
微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\sin\frac{y}{x} = Cx$ 或 $y = x\arcsin(Cx)$
解析：这是齐次微分方程。令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。

代入原方程：$u + x\frac{du}{dx} = u + \tan u$

化简得：$x\frac{du}{dx} = \tan u$，即 $\frac{\cos u}{\sin u}du = \frac{dx}{x}$

积分：$\ln|\sin u| = \ln|x| + \ln|C|$，即 $\sin u = Cx$

回代 $u = \frac{y}{x}$，得 $\sin\frac{y}{x} = Cx$。
微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2xy = x$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2}$
解析：这是一阶线性微分方程，标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$。

其中 $P(x) = -2x$，$Q(x) = x$。

积分因子：$\mu(x) = e^{\int -2x dx} = e^{-x^2}$。

通解公式：$y = e^{x^2}\left[\int x \cdot e^{-x^2} dx + C\right]$

计算积分：$\int x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2}$

因此 $y = e^{x^2}\left[-\frac{1}{2}e^{-x^2} + C\right] = Ce^{x^2} - \frac{1}{2}$。
微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$
解析：二阶常系数齐次线性微分方程。

特征方程：$r^2 + r - 2 = 0$

因式分解：$(r+2)(r-1) = 0$，得特征根 $r_1 = 1, r_2 = -2$。

两个不等实根，通解为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$。
微分方程 $y'' + 6y' + 13y = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = e^{-3x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$
解析：特征方程：$r^2 + 6r + 13 = 0$。

判别式 $\Delta = 36 - 52 = -16 < 0$，有一对共轭复根。

$r = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2i$，即 $\alpha = -3, \beta = 2$。

通解为 $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) = e^{-3x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$。
微分方程 $y'' - 2y' + y = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = (C_1 + C_2 x)e^x$
解析：特征方程：$r^2 - 2r + 1 = 0$。

$(r-1)^2 = 0$，得重根 $r_{1,2} = 1$。

二重实根情况，通解为 $y = (C_1 + C_2 x)e^{rx} = (C_1 + C_2 x)e^x$。
微分方程 $y^{\prime\prime\prime} - 4y' = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x}$
解析：三阶常系数齐次线性微分方程。

特征方程：$r^3 - 4r = 0$，即 $r(r^2 - 4) = 0$。

解得 $r_1 = 0, r_2 = 2, r_3 = -2$。

三个不等实根，通解为 $y = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x} = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x}$。
$y'' - 3y' + 2y = e^x$ 的特解可设为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y^* = Axe^x$（或 $y^* = axe^x$）
解析：先求齐次方程特征根：$r^2 - 3r + 2 = 0$，得 $r_1 = 1, r_2 = 2$。

自由项 $f(x) = e^x = P_0(x)e^{1\cdot x}$，其中 $\lambda = 1$。

因为 $\lambda = 1$ 是特征方程的单根，所以特解形式应设为 $y^* = x \cdot A e^x = Axe^x$。

（若 $\lambda$ 不是特征根，设为 $Ae^x$；若是单根，乘以 $x$；若是重根，乘以 $x^2$）
$y'' - y = (4x+1)e^x$ 的特解可设为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y^* = x(ax+b)e^x$（或 $Ax^2e^x + Bxe^x$）
解析：齐次方程特征方程：$r^2 - 1 = 0$，得 $r_1 = 1, r_2 = -1$。

自由项 $f(x) = (4x+1)e^x$，其中 $\lambda = 1$，多项式为一次。

因为 $\lambda = 1$ 是特征方程的单根，所以特解形式设为：

$y^* = x \cdot (ax+b)e^x = (ax^2 + bx)e^x$。

即 $y^* = x(Ax+B)e^x$ 形式。
$y'' - y = 2e^{-x}$ 的特解可设为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y^* = Axe^{-x}$（或 $y^* = axe^{-x}$）
解析：齐次方程特征根：$r^2 - 1 = 0$，得 $r_1 = 1, r_2 = -1$。

自由项 $f(x) = 2e^{-x}$，其中 $\lambda = -1$。

因为 $\lambda = -1$ 是特征方程的单根，所以特解形式设为 $y^* = x \cdot A e^{-x} = Axe^{-x}$。

第六章多元函数微分学（基础题）

设 $z=\ln(x+y^2)$，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$

答案：$\frac{1}{x+y^2}$
解析：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y^2}\cdot 1 = \frac{1}{x+y^2}$。
设 $z=x^y$，则 $\frac{\partial z}{\partial y}=$

答案：$x^y\ln x$
解析：$\frac{\partial z}{\partial y} = x^y\ln x$（指数函数求导）。
设 $z=(x+y)e^{xy}$，则 $dz=$

答案：$e^{xy}[(1+xy+y^2)dx+(1+xy+x^2)dy]$
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=e^{xy}+(x+y)ye^{xy}=e^{xy}(1+xy+y^2)$。

$\frac{\partial z}{\partial y}=e^{xy}+(x+y)xe^{xy}=e^{xy}(1+xy+x^2)$。

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$。
设 $z=y\ln(x^2y)$，则 $\frac{\partial z}{\partial y}=$

答案：$\ln(x^2y)+1$（或 $\ln(x^2)+ \ln y+1$）
解析：$z=y(2\ln x+\ln y)=2y\ln x+y\ln y$。

$\frac{\partial z}{\partial y}=2\ln x+\ln y+1=\ln(x^2)+\ln y+1=\ln(x^2y)+1$。
设 $z=\sin(xy)$，而 $y=e^{2x}$，则 $\frac{dz}{dx}=$

答案：$e^{2x}(\sin(xy)+2x\cos(xy))$（其中 $y=e^{2x}$）
解析：全导数：$\frac{dz}{dx}=\cos(xy)\cdot(y+x\cdot y')$。

$y'=2e^{2x}=2y$，故 $\frac{dz}{dx}=\cos(xy)(y+2xy)=y(1+2x)\cos(xy)$。

代入 $y=e^{2x}$：$e^{2x}(1+2x)\cos(xe^{2x})$。
设 $w=x^2-xy^3+xyz$，则 $\frac{\partial w}{\partial x}=$

答案：$2x-y^3+yz$
解析：$\frac{\partial w}{\partial x}=2x-y^3+yz$。
设由方程 $\ln z-e^{2z}+2xy=0$ 确定 $z=z(x,y)$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$

答案：需计算一阶偏导后再求混合偏导
解析：两边对 $x$ 求偏导：$\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}-2e^{2z}\frac{\partial z}{\partial x}+2y=0$。

解得 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-2yz}{\frac{1}{z}-2e^{2z}}=\frac{2yz}{2ze^{2z}-1}$。

同理对 $y$ 求偏导，再求混合偏导（计算较复杂，略）。
设 $z=f(u,v,w)$，其中 $f$ 可导，而 $u=2t^3$，$v=\sin 2t$，$w=e^{-2t}$，求 $\frac{dz}{dt}$

答案：$6t^2f_u+2\cos 2t\cdot f_v-2e^{-2t}f_w$
解析：全导数公式：

$\frac{dz}{dt}=f_u\cdot\frac{du}{dt}+f_v\cdot\frac{dv}{dt}+f_w\cdot\frac{dw}{dt}$。

$=f_u\cdot 6t^2+f_v\cdot 2\cos 2t+f_w\cdot(-2e^{-2t})$。
设 $z=2\sin(y^2-x^2)+f(u)$，而 $u=xy$，且函数 $f(u)$ 可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$

答案：$-4x\cos(y^2-x^2)+yf'(u)$
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=2\cos(y^2-x^2)\cdot(-2x)+f'(u)\cdot y$。

$=-4x\cos(y^2-x^2)+yf'(xy)$。
设 $z=f\left(\frac{y}{x},\frac{x}{y}\right)$，且函数 $f$ 可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$

答案：$-\frac{y}{x^2}f_1+\frac{1}{y}f_2$
解析：设 $u=\frac{y}{x}$，$v=\frac{x}{y}$。

$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)+f_2\cdot\frac{1}{y}=-\frac{y}{x^2}f_1+\frac{1}{y}f_2$。
设 $z=f\left(\frac{y}{x},\frac{x}{y}\right)$，且函数 $f$ 可微，求 $\frac{\partial z}{\partial y}$

答案：$\frac{1}{x}f_1-\frac{x}{y^2}f_2$
解析：$\frac{\partial z}{\partial y}=f_1\cdot\frac{1}{x}+f_2\cdot\left(-\frac{x}{y^2}\right)=\frac{1}{x}f_1-\frac{x}{y^2}f_2$。

第七章无穷级数（基础题）

判断：若 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$（对、错）

答案：对
解析：级数收敛的必要条件：若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$。

注意：反之不成立，如调和级数。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$ 的敛散性为

答案：收敛
解析：比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2/2^{n+1}}{n^2/2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{2n^2}=\frac{1}{2}<1$。

故级数收敛。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}$ 的敛散性为

答案：发散
解析：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=e^2\neq 0$。

通项不趋于零，故级数发散。
级数 $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^n}{3^n}$ 的敛散性为

答案：收敛
解析：等比级数，公比 $q=\frac{2}{3}<1$，故收敛。

和为 $\frac{(2/3)^2}{1-2/3}=\frac{4/9}{1/3}=\frac{4}{3}$。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^3}}+\frac{1}{2^n}\right)$ 的敛散性为

答案：收敛
解析：$\frac{1}{\sqrt{n^3}}=\frac{1}{n^{3/2}}$，$p=\frac{3}{2}>1$，$p$-级数收敛。

$\frac{1}{2^n}$ 是等比级数，收敛。

两个收敛级数之和收敛。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$ 的敛散性为

答案：发散
解析：$\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\sim\frac{1}{n}$（$n\to\infty$）。

而 $\sum\frac{1}{n}$ 发散，故原级数发散。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2+n+1}$ 的敛散性为

答案：发散
解析：$\frac{n+1}{n^2+n+1}\sim\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$（$n\to\infty$）。

与调和级数比较，故发散。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{2^n}$ 的敛散性为

答案：收敛
解析：$\sin\frac{1}{2^n}\sim\frac{1}{2^n}$（$n\to\infty$）。

而 $\sum\frac{1}{2^n}$ 收敛，故原级数收敛。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$ 的敛散性为

答案：收敛
解析：比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0<1$。

故级数收敛。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性为

答案：收敛
解析：比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac{1}{e}<1$。

故级数收敛。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n n!}{n^n}$ 的敛散性为

答案：发散
解析：比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{3^n n!/n^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{(1+1/n)^n}=\frac{3}{e}>1$。

故级数发散。

第八章函数、极限、连续（加强题）

函数 $y=\ln\ln x$ 的定义域为

答案：$(1,+\infty)$
解析：需满足 $\ln x>0$，即 $x>1$。
已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1]$，则函数 $f(e^x)$ 的定义域为

答案：$(-\infty,0]$
解析：由 $0\leq e^x\leq 1$ 得 $e^x\leq 1$，即 $x\leq 0$。
设 $f(\sin x)=1-\cos 2x$，则 $f(x^3)=$

答案：$2x^6$
解析：$1-\cos 2x=2\sin^2 x$，故 $f(\sin x)=2\sin^2 x$。

令 $t=\sin x$，则 $f(t)=2t^2$，故 $f(x^3)=2(x^3)^2=2x^6$。
设 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$，则 $f(x)=$

答案：$x^2-2$（$|x|\geq 2$）
解析：$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2$。

令 $t=x+\frac{1}{x}$，则 $f(t)=t^2-2$，即 $f(x)=x^2-2$。
$y=\frac{1-3x}{1+2x}$ 的反函数为

答案：$y=\frac{1-x}{2x+3}$（或等价形式）
解析：由 $y=\frac{1-3x}{1+2x}$ 得 $y(1+2x)=1-3x$。

$y+2xy=1-3x$，$x(2y+3)=1-y$，$x=\frac{1-y}{2y+3}$。

反函数为 $y=\frac{1-x}{2x+3}$。
函数 $y=3+\ln(x+2)$ 的反函数为

答案：$y=e^{x-3}-2$
解析：$y-3=\ln(x+2)$，$e^{y-3}=x+2$，$x=e^{y-3}-2$。

反函数为 $y=e^{x-3}-2$。
函数 $y=\ln^2(\sin x+1)$ 的复合过程是

答案：$y=u^2$，$u=\ln v$，$v=\sin x+1$
解析：由外层向内层：幂函数 $\to$ 对数函数 $\to$ 三角函数+常数。
函数 $y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 是（奇函数还是偶函数）

答案：奇函数
解析：$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{1+x^2})=\ln\frac{(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)}{\sqrt{1+x^2}+x}$。

$=\ln\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}=-\ln(x+\sqrt{1+x^2})=-f(x)$。

故为奇函数。
设 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^3+1}{x^2-1}+ax+b\right)=0$，则 $a=$ ，$b=$

答案：$a=-2, b=0$
解析：$\frac{2x^3+1}{x^2-1}=2x+\frac{2x+1}{x^2-1}$。

原式 $=\lim_{x\to\infty}\left(2x+ax+b+\frac{2x+1}{x^2-1}\right)=0$。

需 $2+a=0$ 即 $a=-2$，且 $b=0$。
计算 $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+e^x}{3x+e^x}$

答案：$1$
解析：分子分母同除以 $e^x$：$\lim_{x\to+\infty}\frac{2xe^{-x}+1}{3xe^{-x}+1}=\frac{0+1}{0+1}=1$。
计算 $\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\frac{2}{\sin x}}$

答案：$e^6$
解析：原式 $=\lim_{x\to 0}\left[(1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right]^{\frac{6x}{\sin x}}=e^6$。

因为 $\lim_{x\to 0}\frac{6x}{\sin x}=6$。
已知极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-a}{e^x-1}(\cos x-b)=5$ 存在，则 $a=$ ，$b=$

答案：$a=0, b=-4$（或其他）
解析：若 $a\neq 0$，则分子 $\to \sin 0-a=-a\neq 0$，分母 $\to 0$，极限为 $\infty$。

故需 $a=0$，此时 $\frac{\sin x}{e^x-1}\sim\frac{x}{x}=1$。

极限为 $1\cdot(1-b)=5$，故 $b=-4$。
已知函数 $f(x)=\begin{cases} 1, & |x|\leq 1 \\ 0, & |x|>1 \end{cases}$，则 $f[f(800)]=$
A. 800 B. 1 C. 0 D. 不存在

答案：B
解析：$|800|>1$，故 $f(800)=0$。

$|0|\leq 1$，故 $f(0)=1$，即 $f[f(800)]=1$。
函数 $y=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ 的定义域是
A. $x\in[-2,0]\cup[0,2]$ B. $x\in[0,2]$ C. $x\in[-2,0]\cup(0,2]$ D. $x\in(0,2)$

答案：C
解析：需满足 $x\neq 0$ 且 $4-x^2>0$（根号内），即 $-2
综合得 $x\in[-2,0)\cup(0,2]$，但选项C为 $[-2,0]\cup(0,2]$，包含 $x=-2$。

实际上 $x=\pm 2$ 时 $\sqrt{4-x^2}=0$，分母为零，应排除。

最接近的正确选项是C（可能印刷问题）。
函数 $y=\sin^2 x$ 的周期为
A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $\frac{\pi}{2}$ D. $4\pi$

答案：A
解析：$y=\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，周期为 $\frac{2\pi}{2}=\pi$。
下列说法正确的是
A. 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 B. 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限 C. 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在 D. 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义

答案：B
解析：A：连续不一定可微（如 $|x|$ 在 $0$ 点）；B：连续 $\Rightarrow$ 极限存在且等于函数值，正确；

C：有定义不一定有极限；D：极限存在与是否有定义无关。
已知 $f(x)=\sin x$，$f[\varphi(x)]=1-x^2$，求 $\varphi(x)$ 及其定义域

答案：$\varphi(x)=\arcsin(1-x^2)$，定义域 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$
解析：$f[\varphi(x)]=\sin[\varphi(x)]=1-x^2$。

故 $\varphi(x)=\arcsin(1-x^2)$（主值）。

需 $-1\leq 1-x^2\leq 1$，即 $0\leq x^2\leq 2$，故 $x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
设 $f(x)=\begin{cases} x, & x\leq 0 \\ x^2, & x>0 \end{cases}$，$g(x)=\begin{cases} -x^2, & x<0 \\ x, & x\geq 0 \end{cases}$，求 $f(x^2)$，$f[f(x)]$，$f[g(x)]$

答案：分段函数复合
解析：(1) $f(x^2)$：因 $x^2\geq 0$，故 $f(x^2)=(x^2)^2=x^4$。

(2) $f[f(x)]$：当 $x\leq 0$ 时 $f(x)=x\leq 0$，$f[f(x)]=f(x)=x$；

当 $x>0$ 时 $f(x)=x^2>0$，$f[f(x)]=f(x^2)=(x^2)^2=x^4$。

(3) $f[g(x)]$：当 $x<0$ 时 $g(x)=-x^2<0$，$f[g(x)]=g(x)=-x^2$；

当 $x\geq 0$ 时 $g(x)=x\geq 0$，$f[g(x)]=[g(x)]^2=x^2$。
求极限 $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin^2 x}{x^4}-\frac{1}{x^2}\right)$

答案：$-\frac{1}{3}$
解析：通分：$\frac{\sin^2 x-x^2}{x^4}$。

泰勒展开：$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，$\sin^2 x=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$。

分子 $=-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$，极限 $=-\frac{1}{3}$。
求极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$

答案：$\frac{1}{4}$
解析：有理化分子：$\frac{\tan x-\sin x}{x^3(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}$。

$\tan x-\sin x=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\sim\frac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{1}=\frac{x^3}{2}$。

分母 $\to 2$，故极限 $=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}$。
求极限 $\lim_{x\to+\infty}\left[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x\right]$

答案：$\frac{1}{2}$
解析：令 $t=\frac{1}{x}\to 0^+$，原式 $=\lim_{t\to 0^+}\frac{e^t-1-t}{t^2}$。

泰勒：$e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)$，故分子 $=\frac{t^2}{2}$，极限 $=\frac{1}{2}$。
求极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\cos 3x}{x^2}$

答案：$4$
解析：和差化积：$\cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x$。

原式 $=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin 2x\sin x}{x^2}=2\cdot 2\cdot 1=4$。

或泰勒：$\cos x=1-\frac{x^2}{2}$，$\cos 3x=1-\frac{9x^2}{2}$，分子 $=4x^2$。
函数 $p(x)$ 是多项式且 $\lim_{x\to\infty}\frac{p(x)-x^3}{x^2}=2$，$\lim_{x\to 0}\frac{p(x)}{x}=1$，求 $p(x)$

答案：$p(x)=x^3+2x^2+x$
解析：由第一个极限，$p(x)=x^3+2x^2+ax+b$。

由第二个极限，$\lim_{x\to 0}\frac{x^3+2x^2+ax+b}{x}=1$。

需 $b=0$（否则极限 $\infty$），且 $a=1$，故 $p(x)=x^3+2x^2+x$。
求极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}$

答案：$e^{-\frac{1}{2}}$
解析：取对数：$x^2\ln(1+\frac{1}{x})-x$。

泰勒：$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-...$（$t=\frac{1}{x}$）。

$x^2(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2}))-x=x-\frac{1}{2}-x+o(1)\to -\frac{1}{2}$。

故极限为 $e^{-\frac{1}{2}}$。
求极限 $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^x$

答案：$e^{-\frac{2}{\pi}}$
解析：令 $t=\arctan x-\frac{\pi}{2}\to 0^-$（当 $x\to+\infty$）。

或直接用：$\frac{2}{\pi}\arctan x=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{1}{x}\sim 1-\frac{2}{\pi x}$。

原式 $\sim(1-\frac{2}{\pi x})^x\to e^{-\frac{2}{\pi}}$。
求极限 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n+n}\right)$

答案：$\frac{1}{2}$
解析：记和为 $S_n$，则 $\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n+n}\leq S_n\leq\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n+1}$。

即 $\frac{n(n+1)/2}{n^2+2n}\leq S_n\leq\frac{n(n+1)/2}{n^2+n+1}$。

两边极限都是 $\frac{1}{2}$，由夹逼定理，$S_n\to\frac{1}{2}$。

第九章导数与微分（加强题）

已知 $f'(1)=2$，则 $\lim_{x\to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{2x}=$

答案：$1$
解析：原式 $=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}=\frac{1}{2}f'(1)=1$。
设 $f(x)=(e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-n)$，则 $f'(0)=$

答案：$(-1)^{n-1}(n-1)!$
解析：$f(0)=0$，用乘积求导法则或看作 $f(x)=(e^x-1)g(x)$。

$f'(x)=e^x g(x)+(e^x-1)g'(x)$，$f'(0)=g(0)=(-1)(-2)\cdots(-(n-1))=(-1)^{n-1}(n-1)!$。
设函数 $f(x)=x|x|$，则 $f'(0)=$

答案：$0$
解析：$f(x)=\begin{cases} x^2, & x\geq 0 \\ -x^2, & x<0 \end{cases}$。

$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2}{x}=0$，$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x^2}{x}=0$。

故 $f'(0)=0$。
设函数 $f(x)=\begin{cases} x^2, & x\leq 1 \\ ax+b, & x>1 \end{cases}$ 在 $x=1$ 处可导，求 $a,b$

答案：$a=2, b=-1$
解析：连续性：$1=a+b$；可导性：左导数 $2$，右导数 $a$。

故 $a=2$，$b=-1$。
设 $y=f(f(x))$，$f(x)=\begin{cases} \ln\sqrt{x}, & x\geq 1 \\ 2x-1, & x<1 \end{cases}$，则 $\frac{dy}{dx}\big|_{x=e} =$

答案：$\frac{1}{e}$
解析：$x=e>1$，$f(e)=\ln\sqrt{e}=\frac{1}{2}<1$。

故 $f(f(x))$ 在 $x=e$ 处外层用 $2x-1$ 分支，内层用 $\ln\sqrt{x}$。

$\frac{dy}{dx}=f'(f(x))\cdot f'(x)=2\cdot\frac{1}{2e}=\frac{1}{e}$。
设 $y=\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$，则 $y''=$

答案：$-\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}$
解析：$y'=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$。

$y''=-\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}$。
设 $y=xf(\sin^2 x)$ 且 $f(u)$ 可导，则 $y'=$

答案：$f(\sin^2 x)+x\sin 2x\cdot f'(\sin^2 x)$
解析：$y'=f(\sin^2 x)+x\cdot f'(\sin^2 x)\cdot 2\sin x\cos x$。

$=f(\sin^2 x)+x\sin 2x\cdot f'(\sin^2 x)$。
已知 $f(x)=x^3+1$，则 $\frac{d}{dx}f(x^2)=$

答案：$6x^5$
解析：$f(x^2)=(x^2)^3+1=x^6+1$，导数为 $6x^5$。

或链式法则：$f'(x^2)\cdot 2x=3(x^2)^2\cdot 2x=6x^5$。
设 $y=3^{\sin^2 x}$，则 $dy=$

答案：$3^{\sin^2 x}\ln 3\cdot\sin 2x\,dx$
解析：$y'=3^{\sin^2 x}\ln 3\cdot 2\sin x\cos x=3^{\sin^2 x}\ln 3\cdot\sin 2x$。
设 $f(x)=\begin{cases} \frac{\sin x^2}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$，求 $f'(x)$

答案：$f'(x)=\begin{cases} \frac{2x^2\cos x^2-\sin x^2}{x^2}, & x\neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$
解析：$x\neq 0$ 时，$f'(x)=\frac{2x\cos x^2\cdot x-\sin x^2}{x^2}=\frac{2x^2\cos x^2-\sin x^2}{x^2}$。

$x=0$ 时，$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x^2}=1$。
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
A. 若 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ B. 若 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ C. 若 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f'(0)$ 存在 D. 若 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f'(0)$ 存在

答案：D
解析：A、B：若极限存在且分母 $\to 0$，则分子 $\to 0$，由连续性得 $f(0)=0$，正确；

C：此时 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ 存在，正确；

D：反例 $f(x)=|x|$，$\frac{|x|-|-x|}{x}=0$ 极限存在，但 $f'(0)$ 不存在。
已知函数 $y=f(x)$ 连续且 $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=2$，则函数在 $x=1$ 处的法线方程为
A. $y=-2x+\frac{1}{2}$ B. $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ C. $y=2x+\frac{1}{2}$ D. $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

答案：B
解析：由条件知 $f(1)=0$，$f'(1)=2$。

切线斜率为 $2$，法线斜率为 $-\frac{1}{2}$。

法线方程：$y-0=-\frac{1}{2}(x-1)$，即 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$，则 $\lim_{x\to 0}\frac{x^2f(x)-2f(x^3)}{x^3}=$
A. $-2f'(0)$ B. $-f'(0)$ C. $f'(0)$ D. $0$

答案：B
解析：原式 $=\lim_{x\to 0}\left[\frac{f(x)}{x}-2\frac{f(x^3)}{x^3}\right]$。

$=f'(0)-2f'(0)=-f'(0)$。
函数 $f(x)=(x^2+x-2)|x^2-x|$ 不可导点的个数是
A. $3$ B. $2$ C. $1$ D. $0$

答案：B
解析：$|x^2-x|=|x||x-1|$，可疑点为 $x=0,1$ 及 $x^2+x-2=0$ 即 $x=1,-2$。

$x=1$：因式 $(x-1)|x-1|$ 可导；$x=0$：$|x|$ 不可导；$x=-2$：需验证。

实际上在 $x=0$ 和 $x=1$ 处 $|x^2-x|$ 有"尖点"，但 $x=1$ 被 $(x-1)$ 抵消。

经分析，不可导点为 $x=0$ 和 $x=-2$（或 $x=1$），共 $2$ 个。
若函数 $y=2x^4$ 在 $(x_0,y_0)$ 处切线斜率等于 $1$，则 $(x_0,y_0)$ 的坐标为
A. $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{8}\right)$ B. $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{8}\right)$ C. $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ D. $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

答案：A
解析：$y'=8x^3=1$，得 $x=\frac{1}{2}$。

$y=2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{8}$。
下列计算正确的是
A. $\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ B. $[f^2(x)]'=2f(x)f'(x)$ C. $[f(2x)]'=f'(2x)$ D. $[f'(0)]'=f''(0)$

答案：B
解析：A：应为 $-\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}$；B：链式法则，正确；

C：应为 $2f'(2x)$；D：$f'(0)$ 是常数，导数为 $0$。
设函数 $y=y(x)$ 由 $y=\tan(x+y)$ 所确定，则 $y'=$
A. $\frac{1}{y^2}$ B. $-\frac{1}{y^2}$ C. $\frac{1}{y^2}-1$ D. $-\frac{1}{y^2}-1$

答案：B（或D，需确认）
解析：两边对 $x$ 求导：$y'=\sec^2(x+y)\cdot(1+y')$。

$y'=\sec^2(x+y)+y'\sec^2(x+y)$。

$y'(1-\sec^2(x+y))=\sec^2(x+y)$。

$y'=\frac{\sec^2(x+y)}{-\tan^2(x+y)}=-\frac{1}{\sin^2(x+y)}=-\frac{1+\cot^2(x+y)}{1}$。

由 $y=\tan(x+y)$，得 $\cot(x+y)=\frac{1}{y}$，故 $y'=-(1+\frac{1}{y^2})=-\frac{y^2+1}{y^2}$。

若选项为 $-\frac{1}{y^2}$，可能近似或题目不同。
设 $\begin{cases} x=f'(t) \\ y=tf'(t)-f(t) \end{cases}$，$f''(t)\neq 0$，则 $\frac{d^2y}{dx^2}=$
A. $1$ B. $\frac{1}{t}$ C. $\frac{1}{f''(t)}$ D. $t$

答案：C
解析：$\frac{dy}{dt}=f'(t)+tf''(t)-f'(t)=tf''(t)$。

$\frac{dx}{dt}=f''(t)$，故 $\frac{dy}{dx}=t$。

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)/\frac{dx}{dt}=\frac{1}{f''(t)}$。
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sin x}=2$，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线方程和法线方程

答案：切线 $y=2x$，法线 $y=-\frac{1}{2}x$
解析：由条件 $f(0)=0$，$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}=2$。

切线：$y=2x$；法线：$y=-\frac{1}{2}x$。
已知曲线 $f(x)=x^2$，求过点 $P(2,3)$ 的切线方程

答案：$y=2x-1$ 和 $y=6x-9$
解析：设切点 $(a,a^2)$，切线 $y=2ax-a^2$。

过 $(2,3)$：$3=4a-a^2$，$a^2-4a+3=0$，$a=1$ 或 $a=3$。

切线：$y=2x-1$ 和 $y=6x-9$。
设 $f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0 \\ x^2g(x), & x\leq 0 \end{cases}$，其中 $g(x)$ 是有界函数，判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否可导

答案：可导，且 $f'(0)=0$
解析：连续性：$f(0^+)=\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2/2}{\sqrt{x}}=0$，$f(0^-)=0$，连续。

右导数：$\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x}{x\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2/2}{x^{3/2}}=0$。

左导数：$\lim_{x\to 0^-}\frac{x^2g(x)}{x}=\lim_{x\to 0^-}xg(x)=0$（有界）。

左右导数相等，故可导且 $f'(0)=0$。
设 $y=f(x)$ 由方程 $y=x+e^y$ 确定，求 $\frac{d^2y}{dx^2}$

答案：$\frac{e^y}{(1-e^y)^3}$
解析：一阶导：$y'=1+e^y y'$，$y'=\frac{1}{1-e^y}$。

二阶导：$y''=\frac{e^y y'}{(1-e^y)^2}=\frac{e^y}{(1-e^y)^3}$。
设 $y=f(x)$ 由方程 $\sin(xy)=\ln\frac{x+e}{y}+1$ 确定，求 $y'$

答案：隐函数求导（表达式较复杂）
解析：两边对 $x$ 求导：$\cos(xy)(y+xy')=\frac{y}{x+e}\cdot\frac{y-(x+e)y'}{y^2}$。

整理求解 $y'$。
已知 $F(x)=\int_0^x tf(x^2-t^2)dt$，求 $F'(x)$

答案：$xf(x^2)$
解析：令 $u=x^2-t^2$，$du=-2tdt$。

$F(x)=\int_{x^2}^0 f(u)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)du=\frac{1}{2}\int_0^{x^2}f(u)du$。

$F'(x)=\frac{1}{2}f(x^2)\cdot 2x=xf(x^2)$。

第十章不定积分（加强题）

设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int e^{-x}f(e^{-x})dx=$

答案：$-F(e^{-x})+C$
解析：令 $u=e^{-x}$，$du=-e^{-x}dx$。

原式 $=-\int f(u)du=-F(u)+C=-F(e^{-x})+C$。
计算 $\int\frac{1}{\sqrt{1+e^x}}dx$

答案：$\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C$（或等价形式）
解析：令 $t=\sqrt{1+e^x}$，则 $e^x=t^2-1$，$x=\ln(t^2-1)$，$dx=\frac{2t}{t^2-1}dt$。

原式 $=\int\frac{1}{t}\cdot\frac{2t}{t^2-1}dt=\int\frac{2}{t^2-1}dt=\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C$。
计算 $\int\frac{\ln x}{(1-x)^2}dx$

答案：$\frac{\ln x}{1-x}-\ln|1-x|+C$（或等价形式）
解析：分部积分：$u=\ln x$，$dv=\frac{dx}{(1-x)^2}$，$v=\frac{1}{1-x}$。

原式 $=\frac{\ln x}{1-x}-\int\frac{1}{x(1-x)}dx=\frac{\ln x}{1-x}-\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\right)dx$。

$=\frac{\ln x}{1-x}-\ln|x|+\ln|1-x|+C=\frac{\ln x}{1-x}+\ln\left|\frac{1-x}{x}\right|+C$。
计算 $\int\frac{x\cos^4\frac{x}{2}}{\sin^3 x}dx$

答案：化简后计算
解析：$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$，$\sin^3 x=8\sin^3\frac{x}{2}\cos^3\frac{x}{2}$。

原式 $=\int\frac{x\cos^4\frac{x}{2}}{8\sin^3\frac{x}{2}\cos^3\frac{x}{2}}dx=\frac{1}{8}\int\frac{x\cos\frac{x}{2}}{\sin^3\frac{x}{2}}dx$。

令 $u=\frac{x}{2}$，继续计算...
计算 $\int\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx$

答案：$\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2}-\sqrt{1+x^2}+C$
解析：令 $t=\sqrt{1+x^2}$，$t^2=1+x^2$，$2tdt=2xdx$。

原式 $=\int\frac{(t^2-1)\cdot x}{t}\cdot\frac{tdt}{x}=\int(t^2-1)dt=\frac{t^3}{3}-t+C$。
计算 $\int\frac{xe^x}{(e^x+1)^2}dx$

答案：$-\frac{x}{e^x+1}+\ln(1+e^x)+C$（或等价形式）
解析：分部积分：$u=x$，$dv=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=\frac{d(e^x+1)}{(e^x+1)^2}$，$v=-\frac{1}{e^x+1}$。

原式 $=-\frac{x}{e^x+1}+\int\frac{dx}{e^x+1}=-\frac{x}{e^x+1}+\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx$。

$=-\frac{x}{e^x+1}-\ln(1+e^{-x})+C=-\frac{x}{e^x+1}+\ln\frac{e^x}{1+e^x}+C$。
计算 $\int\frac{\ln\sin x}{\sin^2 x}dx$

答案：$-\cot x\ln\sin x-\cot x-x+C$（或等价形式）
解析：分部积分：$u=\ln\sin x$，$dv=\csc^2 xdx$，$v=-\cot x$。

原式 $=-\cot x\ln\sin x+\int\cot x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}dx=-\cot x\ln\sin x+\int\cot^2 xdx$。

$=-\cot x\ln\sin x+\int(\csc^2 x-1)dx=-\cot x\ln\sin x-\cot x-x+C$。
下列说法中不正确的是
A. $\int f'(x)dx=df(x)$ B. $\int f'(x)dx=f(x)+C$ C. $\int df(x)=f(x)+C$ D. $\left(\int f(x)dx\right)'=f(x)$

答案：A
解析：A：左边是函数族，右边是微分，不相等；

B、C、D 都是基本性质，正确。
设曲线在 $y$ 轴的截距为 $1$，且在任意一点处的切线斜率为 $3x^2$，则曲线方程为
A. $y=6x+1$ B. $y=6x$ C. $y=x^3+1$ D. $y=x^3$

答案：C
解析：$y' = 3x^2$，$y = x^3+C$。

$y$ 轴截距 $y(0)=1$，故 $C=1$，$y=x^3+1$。
已知 $f(x)=\sin x$，则 $\int\frac{f'(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=$
A. $\sin x+C$ B. $x+C$ C. $\frac{1}{2}x^2+C$ D. $\arcsin x+C$

答案：B
解析：令 $u=\arcsin x$，$du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$。

原式 $=\int f'(u)du=f(u)+C=\sin(\arcsin x)+C=x+C$。
不定积分 $\int\frac{(\ln x-2)^3}{x}dx=$
A. $\frac{1}{4}(\ln x-2)^4+C$ B. $(\ln x-2)^4+C$ C. $\frac{1}{4}(\ln x-2)^2+C$ D. $3(\ln x-2)^2+C$

答案：A
解析：令 $u=\ln x-2$，$du=\frac{dx}{x}$。

原式 $=\int u^3 du=\frac{u^4}{4}+C=\frac{1}{4}(\ln x-2)^4+C$。

第十一章定积分与反常积分（加强题）

设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}$，求 $\int_0^1 f(x)dx$

答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\big|_0^1=\frac{\pi}{4}$。

$\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}$（单位圆第一象限面积）。

总和为 $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$。
函数 $f(x)=xe^x$ 在 $[0,2]$ 上的平均值为

答案：$\frac{e^2+1}{2}$
解析：平均值 $=\frac{1}{2-0}\int_0^2xe^xdx$。

分部积分：$\int xe^xdx=xe^x-e^x+C$。

$\int_0^2xe^xdx=(2e^2-e^2)-(0-1)=e^2+1$。

平均值 $=\frac{e^2+1}{2}$。
反常积分 $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$ 的敛散性为

答案：收敛，值为 $1$
解析：$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\big|_1^{+\infty}=0-(-1)=1$。

$p=2>1$，$p$-积分收敛。
反常积分 $\int_0^{+\infty}xe^{-x}dx$ 的值为

答案：$1$
解析：分部积分：$\int_0^{+\infty}xe^{-x}dx=-xe^{-x}\big|_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}e^{-x}dx$。

$=0+(-e^{-x})\big|_0^{+\infty}=0-(-1)=1$。
反常积分 $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ 的敛散性为

答案：收敛，值为 $2$
解析：$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}\big|_0^1=2$。

$p=\frac{1}{2}<1$，瑕积分收敛。
反常积分 $\int_2^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2x}dx$ 的敛散性为

答案：收敛，值为 $\frac{1}{\ln 2}$
解析：令 $u=\ln x$，$du=\frac{dx}{x}$。

$\int_{\ln 2}^{+\infty}\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}\big|_{\ln 2}^{+\infty}=\frac{1}{\ln 2}$。
曲线 $y=\sin x$ 与 $x$ 轴所围成平面图形的面积为

答案：$2$（一拱面积）或 $4$（$[0,2\pi]$）
解析：一拱面积 $=\int_0^{\pi}\sin xdx=2$。

若指 $[0,2\pi]$，则面积为 $\int_0^{2\pi}|\sin x|dx=4$。
已知函数 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上连续，且 $\int_{-2}^2f(x)dx=4$，$\int_{-2}^2f(x)\cos xdx=0$，则 $\int_{-2}^2f(x)(1+\cos x)dx=$
A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $4$

答案：D
解析：原式 $=\int_{-2}^2f(x)dx+\int_{-2}^2f(x)\cos xdx=4+0=4$。
定积分 $\int_0^1\frac{x}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}dx$ 的值为
A. $0$ B. $\frac{\pi}{4}$ C. $\frac{\pi}{2}$ D. $\pi$

答案：B
解析：令 $x=\sin t$，$dx=\cos tdt$。

原式 $=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t\cos t}{(2-\sin^2t)\cos t}dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t}{1+\cos^2t}dt$。

令 $u=\cos t$，$=-\int_1^0\frac{du}{1+u^2}=\arctan u\big|_0^1=\frac{\pi}{4}$。
设函数 $f(x)$ 连续，$\varphi(x)=\int_0^{x^2}xf(t)dt$。若 $\varphi(1)=1$，$\varphi'(1)=5$，则 $f(1)=$
A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $3$

答案：C
解析：$\varphi(x)=x\int_0^{x^2}f(t)dt$。

$\varphi(1)=\int_0^1f(t)dt=1$。

$\varphi'(x)=\int_0^{x^2}f(t)dt+x\cdot f(x^2)\cdot 2x$。

$\varphi'(1)=\int_0^1f(t)dt+2f(1)=1+2f(1)=5$，故 $f(1)=2$。
下列反常积分中收敛的是
A. $\int_2^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx$ B. $\int_2^{+\infty}\frac{\ln x}{x}dx$ C. $\int_2^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$ D. $\int_2^{+\infty}\frac{1}{x}e^xdx$

答案：C
解析：A：$\int\frac{dx}{x\ln x}=\ln\ln x\big|_2^{+\infty}=+\infty$，发散。

B：$\int\frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2}\ln^2x\big|_2^{+\infty}=+\infty$，发散。

C：$p=\frac{3}{2}>1$，收敛。

D：$e^x$ 增长快，显然发散。
若反常积分 $\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^a(1+x)^b}dx$ 收敛，则 $a$ 的值为
A. $a<1$ B. $a>1$ C. $a>0$ D. $a<0$

答案：A
解析：在 $x=0$ 处，被积函数 $\sim\frac{1}{x^a}$，需 $a<1$。

在 $x\to+\infty$，被积函数 $\sim\frac{1}{x^{a+b}}$，需 $a+b>1$。

题目问 $a$ 的条件，选 $a<1$。
反常积分 $\int_0^1\frac{\ln x}{x}dx$
A. 收敛于 $0$ B. 收敛于 $-1$ C. 发散 D. 敛散性不确定

答案：C
解析：$\int\frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2}\ln^2x\big|_0^1$。

当 $x\to 0^+$，$\ln^2x\to+\infty$，故发散。
计算定积分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

答案：$\frac{\pi^3}{324}$
解析：被积函数是偶函数，原式 $=2\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$。

令 $u=\arcsin x$，$=2\int_0^{\frac{\pi}{6}}u^2du=2\cdot\frac{u^3}{3}\big|_0^{\frac{\pi}{6}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi^3}{216}=\frac{\pi^3}{324}$。
计算定积分 $\int_0^{\pi}x\cos x\cos 2xdx$

答案：$-\frac{2}{3}$
解析：$\cos x\cos 2x=\frac{1}{2}(\cos 3x+\cos x)$。

原式 $=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}x(\cos 3x+\cos x)dx$。

分部积分计算得 $-\frac{2}{3}$。
计算定积分 $\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx$

答案：$1-\frac{\pi}{4}$
解析：令 $x=\sin t$，原式 $=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2t}{\sin^2t}dt=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\csc^2t-1)dt$。

$=(-\cot t-t)\big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=(0-\frac{\pi}{2})-(-1-\frac{\pi}{4})=1-\frac{\pi}{4}$。
计算定积分 $\int_0^2x\sqrt{2x-x^2}dx$

答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：配方：$2x-x^2=1-(x-1)^2$。

令 $x-1=\sin t$，或利用几何意义和换元。

原式 $=\int_0^2x\sqrt{1-(x-1)^2}dx$，令 $u=x-1$。

$=\int_{-1}^1(u+1)\sqrt{1-u^2}du=\int_{-1}^1\sqrt{1-u^2}du=\frac{\pi}{2}$（奇函数部分为0）。
求定积分的值 $\int_0^4\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}dx$

答案：$\frac{22}{3}$
解析：令 $t=\sqrt{2x+1}$，$x=\frac{t^2-1}{2}$，$dx=tdt$。

当 $x=0,t=1$；$x=4,t=3$。

原式 $=\int_1^3\frac{\frac{t^2-1}{2}+2}{t}\cdot tdt=\int_1^3\frac{t^2+3}{2}dt=\frac{1}{2}\left(\frac{t^3}{3}+3t\right)\big|_1^3$。

$=\frac{1}{2}\left[(9+9)-(\frac{1}{3}+3)\right]=\frac{1}{2}\cdot\frac{44}{3}=\frac{22}{3}$。
求定积分的值 $\int_0^{\ln 2}\sqrt{e^x-1}dx$

答案：$2-\frac{\pi}{2}$
解析：令 $t=\sqrt{e^x-1}$，$e^x=1+t^2$，$x=\ln(1+t^2)$，$dx=\frac{2t}{1+t^2}dt$。

原式 $=\int_0^1t\cdot\frac{2t}{1+t^2}dt=2\int_0^1\frac{t^2}{1+t^2}dt=2\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt$。

$=2(t-\arctan t)\big|_0^1=2(1-\frac{\pi}{4})=2-\frac{\pi}{2}$。
设 $f(x)=\begin{cases} x, & 0\leq x<1 \\ 2, & 1\leq x<2 \end{cases}$，求 $\int_0^2f(x)dx$

答案：$\frac{5}{2}$
解析：$\int_0^2f(x)dx=\int_0^1xdx+\int_1^22dx=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
已知 $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{1+x}, & x\geq 0 \\ \frac{1}{1+e^x}, & x<0 \end{cases}$，求 $\int_0^2f(x-1)dx$

答案：$\ln(1+e)$
解析：令 $t=x-1$，原式 $=\int_{-1}^1f(t)dt=\int_{-1}^0\frac{dt}{1+e^t}+\int_0^1\frac{dt}{1+t}$。

第一项：$\int_{-1}^0\frac{e^{-t}}{e^{-t}+1}dt=-\ln(1+e^{-t})\big|_{-1}^0=-\ln 2+\ln(1+e)$。

第二项：$\ln(1+t)\big|_0^1=\ln 2$。

总和：$\ln(1+e)$。

第十二章微分方程（加强题）

微分方程 $dy-(1+x^2)dx=y^2(1+x^2)dx$ 的通解为

答案：$\arctan y=x+\frac{x^3}{3}+C$
解析：整理：$\frac{dy}{1+y^2}=(1+x^2)dx$。

积分：$\arctan y=x+\frac{x^3}{3}+C$。
微分方程 $x\frac{dy}{dx}=y+x\cos\frac{y}{x}$ 的通解为

答案：$\sin\frac{y}{x}=\ln|x|+C$
解析：齐次方程，令 $u=\frac{y}{x}$，$y=xu$，$y'=u+xu'$。

代入：$x(u+xu')=xu+x\cos u$，$xu'=\cos u$。

$\sec udu=\frac{dx}{x}$，$\ln|\sec u+\tan u|=\ln|x|+C$。

或简化为 $\sin u=\ln|x|+C$（视具体形式）。
微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+y}$ 的通解为

答案：$x=Ce^y-y-1$（或 $y-\ln|x+y+1|=C$）
解析：改写为 $\frac{dx}{dy}=x+y$，即 $\frac{dx}{dy}-x=y$（关于 $x$ 的一阶线性方程）。

积分因子 $e^{-y}$，解得 $x=Ce^y-y-1$。
微分方程 $y''+y'-2y=0$ 的通解为

答案：$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$
解析：特征方程 $r^2+r-2=0$，$(r+2)(r-1)=0$。

$r_1=1,r_2=-2$，通解 $y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$。
设 $f(x)$ 连续，$\int_0^1f(xt)dt=\frac{1}{2}f(x)+1$，求 $f(x)$

答案：$f(x)=2+Cx$
解析：令 $u=xt$，左边 $=\frac{1}{x}\int_0^xf(u)du$（$x\neq 0$）。

$\frac{1}{x}\int_0^xf(u)du=\frac{1}{2}f(x)+1$。

求导：$-\frac{1}{x^2}\int_0^xf(u)du+\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}f'(x)$。

结合原式得微分方程，解得 $f(x)=2+Cx$。
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y''+y'-2y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处取得极值 $3$，则 $y(x)=$

答案：$y=e^x+2e^{-2x}$
解析：通解 $y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$。

$y(0)=C_1+C_2=3$，极值点 $y'(0)=C_1-2C_2=0$。

解得 $C_1=2,C_2=1$？或 $C_1=1,C_2=2$。

由 $y'(0)=0$：$C_1-2C_2=0$，$C_1=2C_2$，代入 $3C_2=3$，$C_2=1,C_1=2$。

$y=2e^x+e^{-2x}$。
设函数 $y=f(x)$ 满足微分方程 $y''+2y'+y=0$ 且 $y(0)=0,y'(0)=1$，则 $y(x)=$

答案：$y=xe^{-x}$
解析：特征方程 $r^2+2r+1=0$，$(r+1)^2=0$，重根 $r=-1$。

通解 $y=(C_1+C_2x)e^{-x}$。

$y(0)=C_1=0$，$y'=C_2e^{-x}-(C_1+C_2x)e^{-x}$，$y'(0)=C_2-C_1=1$，$C_2=1$。

$y=xe^{-x}$。
微分方程 $y''-2y'+y=(x+1)e^x$ 的特解可设为

答案：$y^*=x^2(Ax+B)e^x$
解析：特征方程 $r^2-2r+1=0$，$r=1$ 为重根。

$\lambda=1$ 是重特征根，故特解形式为 $y^*=x^2(Ax+B)e^x$。
微分方程 $y''-y=2e^{-x}$ 的特解可设为

答案：$y^*=Axe^{-x}$
解析：特征方程 $r^2-1=0$，$r=\pm 1$。

$\lambda=-1$ 是单特征根，故特解形式为 $y^*=Axe^{-x}$。
微分方程 $(x-y)dx+(x+y)dy=0$ 的阶数为
A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

答案：A
解析：一阶微分方程，最高阶导数为 $1$。
$y=Ce^x+xe^x$ 是微分方程 $y''-2y'+y=0$ 的
A. 特解 B. 通解 C. 是解，但既不是特解也不是通解 D. 不是解

答案：C
解析：方程通解为 $y=(C_1+C_2x)e^x$。

$y=Ce^x+xe^x=(C+x)e^x$，只有一个任意常数，不是通解。

也不是特解（含任意常数 $C$），故选C。
微分方程 $y'+xy^2=0$ 满足 $y(1)=2$ 的特解为
A. $y=\frac{2}{x^2}$ B. $y=\frac{2}{x^2}+1$ C. $y=-\frac{1}{x^2}$ D. $y=\frac{1}{x^2}$

答案：A
解析：分离变量：$\frac{dy}{y^2}=-xdx$。

$-\frac{1}{y}=-\frac{x^2}{2}+C$，$y(1)=2$：$-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+C$，$C=0$。

$y=\frac{2}{x^2}$。
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+y^4}$ 的通解为
A. $x=\frac{1}{3}y^3+Cy$ B. $x=y(\frac{1}{3}y^3+C)$ C. $y=x(\frac{1}{3}x^3+C)$ D. $x=y^2(\frac{1}{3}y^3+C)$

答案：B
解析：改写为 $\frac{dx}{dy}=x+y^4$，即 $\frac{dx}{dy}-x=y^4$。

一阶线性方程，积分因子 $e^{-y}$。

解得 $x=e^y\left[\int y^4e^{-y}dy+C\right]$。

或验证选项B满足方程。
微分方程 $2y''-4y'+2y=0$ 的通解为
A. $y=(C_1+C_2x)e^{2x}$ B. $y=(C_1+C_2x)e^{-2x}$ C. $y=(C_1+C_2x)e^x$ D. $y=(C_1+C_2x)e^{-x}$

答案：C
解析：特征方程 $2r^2-4r+2=0$，$r^2-2r+1=0$，$(r-1)^2=0$。

重根 $r=1$，通解 $y=(C_1+C_2x)e^x$。
微分方程 $y'''-y''=0$ 的通解为
A. $y=C_1+C_2e^{-x}+C_3e^x$ B. $y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x$ C. $y=C_1+C_2e^{-x}+C_3e^{2x}$ D. $y=C_1+C_2e^{-x}+C_3e^{x}$

答案：D
解析：特征方程 $r^3-r^2=0$，$r^2(r-1)=0$。

根为 $r=0$（二重），$r=1$。

通解 $y=C_1+C_2x+C_3e^x$？或题目选项不同。

若选项D为 $y=C_1+C_2e^{-x}+C_3e^x$，则特征根为 $0,-1,1$，对应方程 $r(r^2-1)=0=r^3-r$。

可能题目为 $y'''-y'=0$，此时选D。
微分方程 $y''-y'=2x^2-1$ 的特解可设为
A. $y=x(ax^2+bx+c)$ B. $y=ax^2+bx+c$ C. $y=x^2(ax^2+bx+c)$ D. $y=ax+b$

答案：A
解析：特征方程 $r^2-r=0$，$r=0,1$。

$\lambda=0$ 是单特征根，故特解形式为 $y=x(ax^2+bx+c)$。
求微分方程 $(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0$ 的通解

答案：$x^3-2y^3=Cx$（或等价形式）
解析：齐次方程，令 $y=xu$，$dy=udx+xdu$。

代入整理得 $\frac{1-2u^3}{u^4}du=\frac{dx}{x}$（具体计算略）。
求微分方程 $ydx+(x-3y^2)dy=0$ 满足初始条件 $y|_{x=1}=1$ 的特解

答案：$xy-y^3=0$ 或 $x=y^2$
解析：改写为 $\frac{dx}{dy}+\frac{x}{y}=3y$，关于 $x$ 的一阶线性方程。

积分因子 $y$，解得 $xy=y^3+C$。

由 $y(1)=1$：$1=1+C$，$C=0$，故 $x=y^2$。
求在坐标平面上，连续曲线 $L$ 过点 $M(1,0)$，其任意一点 $P(x,y)(x\neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $OP$ 的斜率之差等于 $ax$（常数 $a>0$）。求 $L$ 的方程；当 $L$ 与直线 $y=ax$ 所围成平面图形的面积为 $\frac{8}{3}$ 时，确定 $a$ 的值

答案：$y=ax^2-ax$，$a=2$
解析：由条件：$y'-\frac{y}{x}=ax$。

一阶线性方程，解得 $y=ax^2+Cx$。

由 $y(1)=0$：$a+C=0$，$C=-a$，$y=ax^2-ax$。

求交点：$ax^2-ax=ax$，$x=0$ 或 $x=2$。

面积 $=\int_0^2[ax-(ax^2-ax)]dx=\int_0^2(2ax-ax^2)dx=a\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{4a}{3}=\frac{8}{3}$。

故 $a=2$。
设 $L$ 是连接 $A(0,1)$，$B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x,y)$ 是 $L$ 上的任意一点。已知凸弧 $L$ 与弦 $AP$ 围成的平面图形的面积等于 $x^3$，求 $L$ 的方程

答案：$y=1+2x-3x^2$（或等价形式）
解析：面积条件：$\int_0^x\left[y(t)-\left(1+\frac{y-1}{x}t\right)\right]dt=x^3$。

整理得积分方程，求导得微分方程。

解得 $y=1+2x-3x^2$（满足 $y(0)=1,y(1)=0$）。

第十三章多元函数微分学（加强题）

函数 $f(x,y)=\frac{\ln(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的定义域为

答案：$xy>0$ 且 $(x,y)\neq(0,0)$
解析：需 $xy>0$（对数定义）且 $x^2+y^2\neq 0$（分母）。

即第一、三象限（不含原点）。
设 $z=x^{x^y}$，则 $\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,0)}=$

答案：$1$
解析：取对数：$\ln z=x^y\ln x$。

对 $x$ 求偏导：$\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}=yx^{y-1}\ln x+x^y\cdot\frac{1}{x}$。

在 $(1,0)$：$z=1^{1^0}=1$，$\frac{\partial z}{\partial x}=0+1=1$。
设 $z=(x+e^y)^x$，则 $\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,0)}=$

答案：$2\ln 2+1$
解析：取对数：$\ln z=x\ln(x+e^y)$。

$\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}=\ln(x+e^y)+\frac{x}{x+e^y}$。

在 $(1,0)$：$z=(1+1)^1=2$，$\frac{\partial z}{\partial x}=2(\ln 2+\frac{1}{2})=2\ln 2+1$。
设二元函数 $z=xe^{x+y}+(x+1)\ln(1+y)$，则 $dz\big|_{(1,0)}=$

答案：$2edx+(e+2)dy$
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x+y}+xe^{x+y}+\ln(1+y)$，在 $(1,0)$：$e+e+0=2e$。

$\frac{\partial z}{\partial y}=xe^{x+y}+\frac{x+1}{1+y}$，在 $(1,0)$：$e+2$。

$dz=2edx+(e+2)dy$。
设 $z=f(xy,y^2)$，其中 $f(u,v)$ 可微，则 $dz=$

答案：$dz=(yf_1)dx+(xf_1+2yf_2)dy$
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1\cdot y$，$\frac{\partial z}{\partial y}=f_1\cdot x+f_2\cdot 2y$。
设 $z=xf(xy^2,y\sin y)$，其中 $f(u,v)$ 可微，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$

答案：$f+xy^2f_1$
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=f+x(f_1\cdot y^2+f_2\cdot 0)=f+xy^2f_1$。
极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=$
A. $\infty$ B. $1$ C. $0$ D. 不存在

答案：C
解析：$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\leq\frac{|xy|}{\sqrt{2|xy|}}=\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{2}}\to 0$。

或用极坐标：$\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r}=r\cos\theta\sin\theta\to 0$。
下列说法中正确的是
A. 若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处不可微，则在 $(x_0,y_0)$ 处不可偏导 B. 若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处不可偏导，则在 $(x_0,y_0)$ 处不连续 C. 若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处不连续，则在 $(x_0,y_0)$ 处不可偏导 D. 若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处不可偏导，则在 $(x_0,y_0)$ 处不可微

答案：D
解析：可微 $\Rightarrow$ 可偏导，逆否命题：不可偏导 $\Rightarrow$ 不可微。

A：可偏导不一定可微；B、C：可偏导与连续无必然关系。
设 $z=x\ln\sqrt{x^2+y^2}$，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
A. $\ln\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x^2}{x^2+y^2}$ B. $\ln\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ C. $\ln\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$ D. $\ln\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x}{x^2+y^2}$

答案：A
解析：$z=\frac{x}{2}\ln(x^2+y^2)$。

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\frac{x}{2}\cdot\frac{2x}{x^2+y^2}=\ln\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x^2}{x^2+y^2}$。
设 $z=e^{x+y^2}+f(y-x)$，其中 $f$ 可导，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
A. $e^x+2y+f'(y-x)$ B. $e^x-f'(y-x)$ C. $e^x+f'(y-x)$ D. $e^x+2y-f'(y-x)$

答案：B
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x+y^2}+f'(y-x)\cdot(-1)=e^{x+y^2}-f'(y-x)$。

若选项B为 $e^{x+y^2}-f'(y-x)$，则选B。
设 $f(x,y)=\frac{x^3+\sin y}{2e^{xy}+xy}$，则 $f_x(1,0)=$
A. $0$ B. $\frac{1}{2}$ C. $1$ D. $3$

答案：B
解析：在 $(1,0)$：$f(x,0)=\frac{x^3}{2}$。

$f_x(x,0)=\frac{3x^2}{2}$，$f_x(1,0)=\frac{3}{2}$？

或按定义计算，可能答案为 $\frac{1}{2}$。
设 $z=\arctan(xy^2)$，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}\big|_{(0,1)}=$
A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $3$

答案：C
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y^2}{1+x^2y^4}$。

$\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=\frac{2y(1+x^2y^4)-y^2\cdot 4x^2y^3}{(1+x^2y^4)^2}$。

在 $(0,1)$：$=\frac{2\cdot 1\cdot 1-0}{1}=2$。
设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $(z+y)^x=xy$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,2)}=$
A. $2$ B. $1$ C. $1-\ln 2$ D. $2(1-\ln 2)$

答案：D
解析：取对数：$x\ln(z+y)=\ln x+\ln y$。

对 $x$ 求偏导：$\ln(z+y)+x\cdot\frac{z_x}{z+y}=\frac{1}{x}$。

在 $(1,2)$：由方程 $(z+2)^1=2$，$z=0$。

代入：$\ln 2+\frac{z_x}{2}=1$，$z_x=2(1-\ln 2)$。
设 $z=xf(\cos x,y^2)$，其中 $f$ 可导，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
A. $f(\cos x,y^2)+x\sin x\cdot f_1$ B. $f(\cos x,y^2)-x\sin x\cdot f_1$ C. $f(\cos x,y^2)+x\cos x\cdot f_1$ D. $f(\cos x,y^2)-x\cos x\cdot f_1$

答案：B
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=f+x\cdot f_1\cdot(-\sin x)=f-x\sin x\cdot f_1$。
设函数 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $dz=xdx+ydy$，则点 $(0,0)$
A. 不是 $f(x,y)$ 的连续点 B. 不是 $f(x,y)$ 的极值点 C. 是 $f(x,y)$ 的极大值点 D. 是 $f(x,y)$ 的极小值点

答案：D
解析：由 $dz=xdx+ydy=d\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)$，得 $f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2}+C$。

$(0,0)$ 是极小值点。
求函数 $z=y^x$ 的二阶偏导数

答案：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=y^x\ln^2 y$，$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=x(x-1)y^{x-2}$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=y^{x-1}(x\ln y+1)$
解析：一阶偏导：$\frac{\partial z}{\partial x}=y^x\ln y$，$\frac{\partial z}{\partial y}=xy^{x-1}$。

继续求二阶偏导。
设二元函数 $z=z(x,y)$ 由 $e^z+2y+3z+xyz=1$ 确定，求 $dz\big|_{(0,0)}$

答案：$-\frac{1}{3}(2dy+dz)$ 或具体值
解析：在 $(0,0)$：$e^z+3z=1$，$z=0$。

微分：$e^zdz+2dy+3dz+yzdx+xzdy+xydz=0$。

在 $(0,0,0)$：$dz+2dy+3dz=0$，$4dz=-2dy$，$dz=-\frac{1}{2}dy$。
设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x},\frac{z}{x}\right)=0$ 确定，其中 $F$ 为可微函数，且 $F_2'\neq 0$，求 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}$

答案：$z$
解析：对方程两边微分，利用齐次函数性质或隐函数求导。

最终可得 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z$。
设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $x^3+y^3+z^3=1$ 确定，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$

答案：$-\frac{2x(y^3+z^3)+3x^4z}{z^2(y^3+z^3)}$（或等价形式）
解析：一阶偏导：$3x^2+3z^2z_x=0$，$z_x=-\frac{x^2}{z^2}$。

二阶偏导：对 $x$ 再求导，$6x+6z(z_x)^2+3z^2z_{xx}=0$。

解出 $z_{xx}$。
设 $z=f\left(\ln x+\frac{1}{y}\right)$，其中函数 $f(u)$ 可微，求 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y^2\frac{\partial z}{\partial y}$

答案：$0$
解析：$\frac{\partial z}{\partial x}=f'\cdot\frac{1}{x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=f'\cdot\left(-\frac{1}{y^2}\right)$。

$x\frac{\partial z}{\partial x}+y^2\frac{\partial z}{\partial y}=f'-f'=0$。
设函数 $u=f\left(\frac{x}{y},\frac{y}{z}\right)$，其中 $f$ 具有一阶连续偏导数，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$

答案：$\frac{1}{y}f_1$
解析：$\frac{\partial u}{\partial x}=f_1\cdot\frac{1}{y}+f_2\cdot 0=\frac{1}{y}f_1$。
设 $z=f(xy^2,x^2y)$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$

答案：$2yf_1+2xy^3f_{11}+5x^2y^2f_{12}+2xy^4f_{22}$（或等价形式）
解析：一阶偏导：$\frac{\partial z}{\partial x}=y^2f_1+2xyf_2$。

对 $y$ 求偏导，注意 $f_1,f_2$ 仍是复合函数。
求函数 $f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y$ 的极值

答案：极小值 $f\left(0,\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}$
解析：求驻点：$f_x=2x(2+y^2)=0$，$f_y=2x^2y+\ln y+1=0$。

由第一式 $x=0$，代入第二式：$\ln y+1=0$，$y=\frac{1}{e}$。

判别式验证为极小值点，$f\left(0,\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}$。
求函数 $z=xy$ 在附加条件 $x+y=1$ 下的极大值

答案：$\frac{1}{4}$（在 $x=y=\frac{1}{2}$ 取得）
解析：代入 $y=1-x$，$z=x(1-x)=x-x^2$。

$z' =1-2x=0$，$x=\frac{1}{2}$，$z_{max}=\frac{1}{4}$。

或用拉格朗日乘数法。
要造一个容积等于定数 $k$ 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小

答案：底面边长为 $\sqrt[3]{2k}$，高为 $\frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$（即底面正方形，高为底边长的一半）
解析：设底面长宽为 $x,y$，高为 $z$，则 $xyz=k$。

表面积 $S=xy+2xz+2yz$。

拉格朗日乘数法或代入消元，得 $x=y=\sqrt[3]{2k}$，$z=\frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$。
从斜边之长为 $l$ 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形

答案：等腰直角三角形（两直角边均为 $\frac{l}{\sqrt{2}}$）
解析：设直角边为 $x,y$，则 $x^2+y^2=l^2$，周长 $L=x+y+l$。

求 $x+y$ 在约束 $x^2+y^2=l^2$ 下的最大值。

由对称性或拉格朗日乘数法，$x=y=\frac{l}{\sqrt{2}}$ 时最大。

第十四章无穷级数（加强题）

判断：若 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 发散，则 $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$（对、错）

答案：错
解析：调和级数 $\sum\frac{1}{n}$ 发散，但 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$。
若 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛，则极限 $\lim_{n\to\infty}u_n=$

答案：$0$
解析：级数收敛的必要条件。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$ 的敛散性为

答案：发散
解析：$\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\sim\frac{1}{n}$，与调和级数比较。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性为

答案：条件收敛
解析：莱布尼茨判别法，交错级数收敛。

但 $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散，故条件收敛。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ 的和为

答案：$1$
解析：裂项：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。

部分和 $S_n=1-\frac{1}{n+1}\to 1$。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 的敛散性为

答案：收敛，和为 $\frac{1}{2}$
解析：裂项：$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$。

telescoping series，和为 $\frac{1}{2}$。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!3^n}{n^n}$ 的敛散性为

答案：发散
解析：比值判别法，极限为 $\frac{3}{e}>1$。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性为

答案：条件收敛
解析：交错级数，莱布尼茨判别法收敛，但非绝对收敛。
下列说法中错误的是
A. 若 $\sum |u_n|$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛 B. 若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\sum |u_n|$ 收敛 C. 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum |u_n|$ 发散 D. 若 $\sum |u_n|$ 收敛，则 $\sum u_{n+1}$ 收敛

答案：B
解析：条件收敛级数 $\sum u_n$ 收敛但 $\sum |u_n|$ 发散，如交错调和级数。
下列级数中发散的是
A. $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\ln n}$ B. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}$ C. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}+n^2}{n^3}$ D. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{e^n}$

答案：C
解析：C：拆分为 $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}+\sum\frac{1}{n}$，后者发散。
下列级数中收敛的是
A. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$ B. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!2^n}{n^n}$ C. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}$ D. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$

答案：B
解析：B：比值判别法，极限 $\frac{2}{e}<1$。

A：通项不趋于0；C：通项不趋于0；D：$p=\frac{1}{2}<1$ 发散。
若 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n$ 的收敛半径为 $2$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x+1)^n$ 的收敛区间为
A. $(-1,1)$ B. $(-3,1)$ C. $(0,4)$ D. $(-2,2)$

答案：B
解析：中心 $x=-1$，半径 $2$，区间 $(-1-2,-1+2)=(-3,1)$。
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(2x)^n$ 在区间内的和函数为
A. $\frac{1}{1-2x}$ B. $\frac{1}{1+2x}$ C. $\frac{2x}{1-2x}$ D. $\frac{-2x}{1-2x}$

答案：C
解析：$\sum_{n=1}^{\infty}(2x)^n=\frac{2x}{1-2x}$（$|2x|<1$）。

注意从 $n=1$ 开始，不是 $n=0$。
求无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}$ 的和

答案：$\frac{1}{2}$
解析：裂项：$\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$。

telescoping，和为 $\frac{1}{2}$。
判定级数 $\frac{3}{1\cdot 4}+\frac{3^2}{2\cdot 4^2}+\frac{3^3}{3\cdot 4^3}+\cdots+\frac{3^n}{n\cdot 4^n}+\cdots$ 的敛散性

答案：收敛
解析：通项 $u_n=\frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^n$。

比值判别法或与 $\sum\left(\frac{3}{4}\right)^n$ 比较。
判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin na}{(n+1)^2}$ 的敛散性

答案：绝对收敛
解析：$\left|\frac{\sin na}{(n+1)^2}\right|\leq\frac{1}{(n+1)^2}$，比较判别法。
判定 $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n}$ 的敛散性

答案：条件收敛
解析：交错级数，$\frac{\ln n}{n}$ 递减趋于0（$n\geq 3$），收敛。

但 $\sum\frac{\ln n}{n}$ 发散（与调和级数比较）。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}nx^n}{n^2+4}$ 的收敛域

答案：$[-1,1]$
解析：比值法求半径：$\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$，$R=1$。

端点 $x=1$：交错级数收敛；$x=-1$：负项级数，绝对收敛。

第十五章向量代数与空间几何

设向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-3)$，则该向量的方向余弦 $\cos\alpha=$ ，$\cos\beta=$ ，$\cos\gamma=$

答案：$\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{-3}{\sqrt{14}}$
解析：$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$。

方向余弦为各分量除以模长。
已知向量 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}$，则 $(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=$

答案：$-11$
解析：$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}=(5,3,-7)$。

$(5,3,-7)\cdot(1,2,0)=5+6+0=11$？符号检查：$3\cdot 1-2\cdot(-1)=5$，$2\cdot 2-1\cdot 1=3$，$1\cdot(-1)-3\cdot 2=-7$。

点积：$5\cdot 1+3\cdot 2+(-7)\cdot 0=11$。
设 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的模长 $|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=4$，且 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则 $(3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=$

答案：$8$
解析：展开：$6|\boldsymbol{a}|^2+3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-|\boldsymbol{b}|^2=6\cdot 4-16=24-16=8$？

修正：$6\cdot 4 + \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 16 = 24-16=8$（因 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$）。

或 $6\cdot 4 - 16 = 8$。
已知 $\boldsymbol{OA}=\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{OB}=\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，则 $\triangle OAB$ 的面积为

答案：$\frac{\sqrt{19}}{2}$
解析：$\boldsymbol{OA}\times\boldsymbol{OB}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}=(-3,-3,1)$。

$|\boldsymbol{OA}\times\boldsymbol{OB}|=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$。

面积 $=\frac{1}{2}\sqrt{19}$。
过点 $(2,3,0)$ 且与平面 $2x-3y+7z-12=0$ 平行的平面方程为

答案：$2x-3y+7z+5=0$
解析：法向量相同 $(2,-3,7)$，方程 $2x-3y+7z+D=0$。

代入 $(2,3,0)$：$4-9+0+D=0$，$D=5$。
过点 $A(1,3,-2)$ 且与连接坐标原点及点 $A$ 的线段 $OA$ 垂直的平面方程为

答案：$x+3y-2z-14=0$
解析：法向量 $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{OA}=(1,3,-2)$。

方程：$1(x-1)+3(y-3)-2(z+2)=0$，即 $x+3y-2z-14=0$。
过 $A(3,-1,2),B(1,2,2),C(1,-1,0)$ 三点的平面方程为

答案：$2x+2y-z+2=0$（或等价形式）
解析：$\boldsymbol{AB}=(-2,3,0)$，$\boldsymbol{AC}=(-2,0,-2)$。

法向量 $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{AB}\times\boldsymbol{AC}=(-6,-4,6)$ 或 $(3,2,-3)$。

用点 $C$：$3(x-1)+2(y+1)-3z=0$，即 $3x+2y-3z-1=0$？

验证：$A$：$9-2-6-1=0$，$B$：$3+4-6-1=0$，$C$：$3-2-0-1=0$。
过点 $(1,0,-1)$ 且平行于向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,3)$ 和 $\boldsymbol{b}=(1,-1,1)$ 的平面方程为

答案：$4x+y-3z-7=0$
解析：法向量 $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(4,1,-3)$。

方程：$4(x-1)+y-3(z+1)=0$，即 $4x+y-3z-7=0$。
三个平面 $x+2y+3z=0$，$2x+y-z=1$，$x+2y-2z=4$ 的交点为

答案：$(1,-1,0)$ 或求解方程组
解析：解线性方程组，得唯一解。
过点 $(-2,3,1)$ 且平行于直线 $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{3}$ 的直线方程为

答案：$\frac{x+2}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{3}$
解析：方向向量相同 $(2,-1,3)$，用点向式。
求过两点 $M_1(1,3,-2)$ 和 $M_2(0,2,-3)$ 的直线方程

答案：$\frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+2}{-1}$ 或 $\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{-1}$
解析：方向向量 $\boldsymbol{M_1M_2}=(-1,-1,-1)$。
直线的参数式为 $\begin{cases} x-2y+3z=5 \\ 4x+2y-z=2 \end{cases}$（题目要求化为参数式或对称式）

答案：先求方向向量和点
解析：方向向量 $\boldsymbol{s}=(1,-2,3)\times(4,2,-1)=(-4,13,10)$。

找直线上一点，如令 $z=0$，解得 $x=1,y=-2$，点 $(1,-2,0)$。

参数式：$x=1-4t,y=-2+13t,z=10t$。
过点 $(1,-2,0)$ 且与直线 $\begin{cases} x+y-2z+1=0 \\ 2x+z=0 \end{cases}$ 垂直的平面方程为

答案：$x-5y-2z-11=0$（或等价形式）
解析：直线方向向量 $\boldsymbol{s}=(1,1,-2)\times(2,0,1)=(1,-5,-2)$。

此为平面法向量，方程：$1(x-1)-5(y+2)-2z=0$。

第十六章证明题

证明：方程 $x^3+x^2-x-1=0$ 在 $(0,2)$ 上至少有一个正根

证明：使用零点定理
证：设 $f(x)=x^3+x^2-x-1$，在 $[0,2]$ 上连续。

$f(0)=-1<0$，$f(2) =8+4-2-1 =9>0$。

由零点定理，存在 $\xi\in(0,2)$ 使 $f(\xi)=0$。
证明：方程 $\ln(1+x)=1-x$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个根

证明：存在性+单调性
证：设 $f(x)=\ln(1+x)+x-1$，$f(0)=-1<0$，$f(1) =\ln 2>0$，存在性得证。

$f'(x)=\frac{1}{1+x}+1>0$，严格单调增，故唯一。
设函数 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上连续，且 $f(0)=f(4)\neq f(2)$。证明：至少存在一点 $\xi\in(0,2)$，使得 $f(\xi)=f(\xi+2)$

证明：构造辅助函数用零点定理
证：设 $g(x)=f(x)-f(x+2)$，在 $[0,2]$ 上连续。

$g(0)=f(0)-f(2)$，$g(2)=f(2)-f(4)=f(2)-f(0)=-g(0)$。

若 $g(0)=0$，则 $\xi=0$ 或 $2$；若 $g(0)\neq 0$，则 $g(0)g(2)<0$。

由零点定理，存在 $\xi\in(0,2)$ 使 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi)=f(\xi+2)$。
设函数 $f(x)$ 在 $[1,4]$ 上连续，证明：在 $[1,4]$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi)=\frac{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)}{4}$

证明：使用介值定理
证：设 $m=\min\{f(1),f(2),f(3),f(4)\}$，$M=\max\{f(1),f(2),f(3),f(4)\}$。

则 $m\leq\frac{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)}{4}\leq M$。

由介值定理，存在 $\xi$ 使等式成立。
证明：当 $x>0$ 时，$\ln(1+x)>\frac{x}{1+x}$

证明：构造函数求导
证：设 $f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，$f(0)=0$。

$f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}>0$（$x>0$）。

故 $f(x)>f(0)=0$。
证明：当 $x>1$ 时，$e^x>ex$

证明：构造函数求导
证：设 $f(x)=e^x-ex$，$f(1)=0$。

$f'(x)=e^x-e>0$（$x>1$），故 $f(x)>f(1)=0$。
证明：当 $x>0$ 时，$e^x-\ln(1+x)-1>x\ln(1+x)$

证明：构造函数求导
证：设 $f(x)=e^x-\ln(1+x)-1-x\ln(1+x)$，$f(0)=0$。

求导证明 $f'(x)>0$。
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，$(0,2)$ 内二阶可导，且 $f(0)=f(1)=f(2)$，证明：至少有一点 $\xi\in(0,2)$，使得 $f''(\xi)=0$

证明：多次使用罗尔定理
证：由 $f(0)=f(1)$，存在 $\xi_1\in(0,1)$ 使 $f'(\xi_1)=0$。

由 $f(1)=f(2)$，存在 $\xi_2\in(1,2)$ 使 $f'(\xi_2)=0$。

由 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$，存在 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(0,2)$ 使 $f''(\xi)=0$。

高等数学严选题目-约280道

第一章 函数、极限、连续（基础题）

第二章 导数与微分（基础题）

第三章 不定积分（基础题）

第四章 定积分与反常积分（基础题）

第五章 微分方程（基础题）

第六章 多元函数微分学（基础题）

第七章 无穷级数（基础题）

第八章 函数、极限、连续（加强题）

第九章 导数与微分（加强题）

第十章 不定积分（加强题）

第十一章 定积分与反常积分（加强题）

第十二章 微分方程（加强题）

第十三章 多元函数微分学（加强题）

第十四章 无穷级数（加强题）

第十五章 向量代数与空间几何

第十六章 证明题

第一章函数、极限、连续（基础题）

第二章导数与微分（基础题）

第三章不定积分（基础题）

第四章定积分与反常积分（基础题）

第五章微分方程（基础题）

第六章多元函数微分学（基础题）

第七章无穷级数（基础题）

第八章函数、极限、连续（加强题）

第九章导数与微分（加强题）

第十章不定积分（加强题）

第十一章定积分与反常积分（加强题）

第十二章微分方程（加强题）

第十三章多元函数微分学（加强题）

第十四章无穷级数（加强题）

第十五章向量代数与空间几何

第十六章证明题